CONCEPTOS MATEMÁTICOS

 aridad de un operador matemático o de una función es el número de argumentosnecesarios para que dicho operador o función se pueda calcular.

Por ejemplo, el operador de suma «+» es un operador binario (de aridad 2), porque necesita dos argumentos para poder realizar una suma. En cambio, la función valor absoluto «| |» es un operador unario (de aridad 1), porque sólo necesita un argumento.

El término también es utilizado en lógica matemática para referir relaciones, por ejemplo relación n-aria.

 asociatividad es una propiedad en el álgebra y la lógica proposicional que se cumple si, dados tres o más elementoscualquiera de un conjunto determinado, se verifica que existe una operación: ${\displaystyle \circ }$, que cumpla la igualdad:

${\displaystyle a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}$

Es decir, en una expresión asociativa con dos o más ocurrencias seguidas de un mismo operador asociativo, el orden en que se ejecuten las operaciones no altera el resultado, siempre y cuando se mantenga intacta la secuencia de los operandos. En otras palabras, reorganizar los paréntesis en una expresión asociativa no cambia su valor final.

La suma y el producto de números reales cumplen la propiedad asociativa, siendo válidas las igualdades:

${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$

para la suma y:

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$

para la multiplicación.

En ambas, la ubicación de los paréntesis no altera el resultado. Nótese que los operandos se han mantenido en su posición original dentro de la expresión. Muchas operaciones importantes son no asociativas, por ejemplo la resta y la exponenciación. Las expresiones que contienen tanto operaciones asociativas como operaciones no asociativasdan como resultado expresiones no asociativas.

No se debe confundir la asociatividad con la conmutatividad, la cual establece que si se puede cambiar el orden de los operandos sin afectar el resultado final.

Sea A un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria interna ○ tal que

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circ b\end{array}}}$

Se dice que la operación ${\displaystyle \circ }$ es asociativa si:

${\displaystyle \forall a,b,c\in A\;:\quad a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}$

La ley asociativa también puede ser expresada en notación funcional así:

${\displaystyle f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))\,}$

Suma y resta[editar]

Partiendo del conjunto de los números naturales

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,4,\dots \}}$

para la operación suma, definida como:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}}$

${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)\,}$ tiene la propiedad asociativa, dado que:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} \;:\quad a+(b+c)=(a+b)+c}$

Por ejemplo:

${\displaystyle 5+(3+2)=(5+3)+2}$

Sin embargo, para la operación resta, definida como:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}-:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a-b\end{array}}}$

${\displaystyle (\mathbb {N} ,-)\,}$ no tiene la propiedad asociativa, dado que:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} \;:\quad a-(b-c)\neq (a-b)-c}$

Por ejemplo:

${\displaystyle 5-(3-2)\neq (5-3)-2}$

Ejemplos[editar]

La adición de numeros reales es asociativa.

• La concatenación de las cadenas de caracteres "hola", " ", "mundo" se puede computar concatenando las primeras dos cadenas de caracteres (resultando en "hola ") y luego la tercera cadena de caracteres ("mundo"), o alternativamente, uniendo la segunda y tercera cadena de caracteres (resultando en " mundo") y concatenando la primera cadena de caracteres ("hola") con ese resultado. Los dos métodos producen el mismo resultado final. La concatenación de cadenas de caracteres es asociativa (pero no es conmutativa).
• En aritmética, la adición y la multiplicación de números reales son asociativas. Debido a su asociatividad, la agrupación por paréntesis puede ser omitida sin ambigüedad. Esto es,

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\(x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\end{matrix}}\right\}{\mbox{para todo }}x,y,z\in \mathbb {R} .}$

Un ejemplo de la asociatividad de la suma es

${\displaystyle (2+3)+7=5+7=12\quad =\quad 2+(3+7)=2+10=12}$

y de la asociatividad de la multiplicación

${\displaystyle (2\cdot 3)\cdot 7=6\cdot 7=42\quad =\quad 2\cdot (3\cdot 7)=2\cdot 21=42}$

Sin embargo, la resta no es asociativa,

${\displaystyle 2-(3-1)=0\quad \neq \quad (2-3)-1=-2}$

y tampoco lo es la división,

${\displaystyle (4:2):2=1\quad \neq \quad 4:(2:2)=4}$.

ni la exponenciación, que es igualmente no asociativa

${\displaystyle 2^{(2^{3})}=2^{8}=256\quad \neq \quad (2^{2})^{3}=4^{3}=64}$

• La adición y multiplicación de números complejos y cuaterniones son asociativas. La adición de octonionestambién es asociativa, pero la multiplicación de octoniones es no asociativa.
• Las funciones máximo común divisor y mínimo común múltiplo actuán de forma asociativa.

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}\operatorname {mcd} (\operatorname {mcd} (x,y),z)=\operatorname {mcd} (x,\operatorname {mcd} (y,z))=\operatorname {mcd} (x,y,z)\ \quad \\\operatorname {mcm} (\operatorname {mcm} (x,y),z)=\operatorname {mcm} (x,\operatorname {mcm} (y,z))=\operatorname {mcm} (x,y,z)\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{ para todo }}x,y,z\in \mathbb {Z} .}$

• La intersección o la unión de conjuntos son asociativas.

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix}}\right\}{\mbox{para todos los conjuntos }}A,B,C.}$

• SI M es algún conjunto y S denota el conjunto de todas las cunciones de M a M, entonces la operación de composición funcional sobre S es asociativa.

${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad {\mbox{para todo }}f,g,h\in S.}$

• Más generalmente, dados cuatro conjuntos M, N, P y Q, con h: M a N, g: N a P, y f: P a Q, entonces

${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h}$

tal como en el ejemplo anterior. En resumen, la composición de aplicaciones siempre es asociativa.

• Para un conjunto con tres elementos A, B, y C, la siguiente operación es asociativa.

×	A	B	C
A	A	A	A
B	A	B	C
C	A	A	A

De esta manera, por ejemplo, A(BC)=(AB)C = A. Esta operación no es conmutativa.

• Ya que las matrices representan funciones de transformación lineal, con la multiplicación matricialrepresentando composición funcional, se puede concluir inmediatamente que la multiplicación matricial es asociativa.¹​

En lógica proposicional[editar]

Regla de reemplazo[editar]

En la lógica proposicional estándar, la asociación,²​³​ o asociatividad⁴​ son dos reglas de reemplazo válidas. Estas reglas permiten mover los paréntesis en expresiones lógicas usadas en pruebas lógicas. Las reglas son:

${\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)}$

y

${\displaystyle (P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land R),}$

donde "${\displaystyle \Leftrightarrow }$" es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una prueba por."

Conectivas de funciones de verdad[editar]

Asociatividad es una propiedad de algunas conectivas lógicas en las funciones de verdad de la lógica proposicional. Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la asociatividad es una propiedad de conectivas lógicas particulares. Son asimismo tautologías de funciones de verdad.

Asociatividad de la disyunción:

${\displaystyle ((P\lor Q)\lor R)\leftrightarrow (P\lor (Q\lor R))}$

${\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)}$

Asociatividad de la conjunción:

${\displaystyle ((P\land Q)\land R)\leftrightarrow (P\land (Q\land R))}$

${\displaystyle (P\land (Q\land R))\leftrightarrow ((P\land Q)\land R)}$

Asociatividad de la equivalencia:

${\displaystyle ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)\leftrightarrow (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))}$

${\displaystyle (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))\leftrightarrow ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)}$

Leyes asociativas

Las "Leyes asociativas" quieren decir que no importa cómo agrupes los números (o sea, qué calculas primero) cuando sumas o cuando multiplicas.

(a + b) + c  =  a + (b + c)
(a × b) × c  =  a × (b × c)

Ejemplos:

Esto:	(2 + 4) + 5  =  6 + 5  =  11
da el mismo resultado que esto:	2 + (4 + 5)  =  2 + 9  =  11

Esto:	(3 × 4) × 5  =  12 × 5  =  60
da el mismo resultado que esto:	3 × (4 × 5)  =  3 × 20  =  60

Usos:

A veces es más fácil sumar o multiplicar si cambiamos el orden:

¿Cuánto es 19 + 36 + 4?
19 + 36 + 4  =  19 + (36 + 4)  =  19 + 40 = 59

O si los reordenamos un poco (fíjate que aquí usamos también la ley conmutativa para eso):

¿Cuánto es 2 × 16 × 5?
2 × 16 × 5  =  (2 × 5) × 16  =  10 × 16 = 160