GEOMETRÍA DINÁMICA

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Paquetes de circulo

El primer ejemplo de un [conjunto de círculos] es el conjunto de todos los círculos que pasan por dos puntos A y B (los círculos verdes). Todos los pares de círculos de este paquete comparten el mismo [eje radical], que es la línea [AB]. Por eso algunas veces el nombre (sistema coaxal de círculos). Hay un círculo más pequeño en este paquete, que tiene como diámetro el segmento [AB]. No hay círculo más grande en este paquete. Con un radio de crecimiento, el círculo tiende al eje radical común, la línea [AB].

Muy relacionado con el primer paquete (uno dice [de tipo de intersección]) está el otro paquete (el azul). Este segundo paquete es el conjunto de todos los círculos posibles ortogonales a dos miembros del primer paquete. Uno muestra fácilmente que cada miembro del segundo paquete es ortogonal a cada círculo del primer paquete. Los pares de círculos del segundo paquete comparten el mismo eje radical que es la línea de los centros de los círculos del primer paquete. No hay un círculo mínimo en este paquete, pero hay círculos pequeños arbitrarios, que tienden a los puntos A y B. Estos se llaman [puntos limitantes] del paquete. Ningún par de círculos de este paquete se intersecta (por lo tanto, se habla de un tipo no intersecante). De nuevo, no hay un círculo máximo en este paquete. Con un radio de crecimiento, los círculos del haz tienden al eje radical común, que es la línea media del segmento AB. Ver el archivoCircleBundleTangent.html para un tercer tipo de un paquete de círculo. Ejercicio: indique y demuestre el resultado indicado por el círculo rojo en la figura anterior. 

Al dejar que B vaya al infinito, obtenemos el siguiente caso de haces ortogonales, en el que el haz verde consiste en líneas, consideradas como casos límite de círculos a través de A. El haz de arriba se transforma en el haz de abajo a través de la inversión cuyo centro está en B y el radio es BA.

Las transformaciones de Moebius más generales respetan el conjunto de {círculos + líneas} y son conformes, es decir, conservan los ángulos, por lo tanto, mapean haces ortogonales de círculos en haces ortogonales de círculos. Aquí podemos permitir haces de círculos generalizados que consisten también de líneas, que pasan por un punto fijo (como se muestra arriba) o que son paralelos.

 Miembro de Circle Bundle

Considere dos círculos c '(r), c' '(r / 2) con centros O, F respectivamente, el segundo con la mitad del radio del primero. Muestre que: 
[1] Las líneas A'A '' que unen dos puntos sobre ellos respectivamente, de manera que OA 'y OF son paralelas y opuestas se intersecan con la línea de centros OF en un punto G, de manera que GO / GF = 2 ( este es el centro de similitud interior de los dos círculos). 
[2] Defina H como la simétrica de O con respecto a F. Demuestre que el círculo con diámetro HG pertenece al conjunto de círculos generado por c 'y c' '. 
[3] Si c ', c' 'no se intersecan, entonces el círculo-haz de círculos (d) simultáneamente ortogonales a c' yc '' es de tipo intersecante y define dos puntos H ', H' 'en la línea FO ,

Círculo Paquete de círculos tangentes

Este es el tercer y último tipo de [paquete de círculo]. Los otros dos discutidos en CircleBundles.html . Consiste en todos los círculos que son tangentes por pares en un punto O (círculos azules). Todos los pares de círculos de este paquete comparten el mismo [eje radical], que es la línea [OA]. Por eso algunas veces el nombre (sistema coaxal de círculos). No hay círculo más pequeño / más grande en este paquete. Con un radio de crecimiento, el círculo tiende al eje radical común, la línea [OB]. Cada paquete de este tipo define otro paquete del mismo tipo (círculos verdes) que consiste en todos los círculos tangentes por pares en el mismo punto O, pero que tienen una tangente [OB], ortogonal a la [OA] anterior. Cada círculo de un haz se interseca ortogonalmente con cada círculo del otro haz.

Los paquetes de círculos están íntimamente relacionados con [Transformaciones de Moebius], un caso particular de los cuales son las [Inversiones]. Como las transformaciones de Moebius conservan los ángulos, transforman los haces ortogonales en haces ortogonales. En particular, aplicando una inversión apropiada para cada uno de los tres tipos de paquetes, uno puede transformarlos en tres tipos particulares de paquetes [canónicos]. Esto se discute en InvertToCanonical.html .