domingo, 9 de diciembre de 2018

GEOMETRÍA DINÁMICA

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Bezier en cuadrilátero

Ilustración de la herramienta de usuario [BezierCurve]. 
1) Construye un cuadrángulo ABCD. 
2) Compilar la herramienta de usuario [EUC_Scripts \ EUC_User_Tools \ Bezier.txt]. 
3) Seleccione la herramienta en el elemento de menú [Definido por el usuario \ Herramientas creadas por el usuario \ BezierCurve]. 
4) Haga clic en los cuatro vértices del cuadrángulo. Crea la curva Bezier con los vértices como puntos de control.

[0_0]

Y una curva de Bézier más general, formada por varios arcos de Bézier, reunidos en los puntos de unión A, B, C, ... La curva se construye de inmediato, utilizando la herramienta correspondiente de EucliDraw. Las líneas en los puntos de control-unión de los arcos representan las tangentes y los puntos en estas tangentes son puntos de control adicionales.

[0_0][0_1]
[1_0][1_1]














Bezier General

Curva de grado n, determinada por n + 1 puntos de control P 0 , ..., P n , utilizando los polinomios de Bernstein B n, i (x). 
La curva está definida por la ecuación c (t) = B n, 0 (x) * P 0 + ... + B n, i (x) * P i + ... + B n, n (x) * P n . 
Está contenido en el casco convexo del conjunto de puntos de control. Aquí la curva se construye utilizando un pequeño script (EUC_Scripts \ EUC_Curves \ GeneralBezier.txt). n es el gradode la curva de Bezier coincidiendo con el grado de los polinomios de Bernstein utilizados. El parámetro t varía en el intervalo [0,1]. La siguiente curva tiene puntos de control de grado 5 y 6 que se pueden mover libremente.

[0_0][0_1][0_2][0_3]
[1_0][1_1][1_2][1_3]

Las más útiles para las aplicaciones son las curvas de Bezier "por partes", construidas a partir de los "Arcos" de Bezier, es decir, las curvas de Bezier del grado 3. Por lo general, los arcos se unen de modo que sus tangentes varían continuamente en las uniones. Este tipo de curvas Bezier por partes se pueden producir a través de una herramienta integrada de EucliDraw. A continuación se muestra un ejemplo de acumulación a partir de 6 arcos. Cada arco tiene 4 puntos de control. En cada unión se identifican dos puntos de control. Por lo tanto, hay 6 * 3 = 18 puntos de control en total.

[0_0][0_1][0_2]














Curva Bezier Racional

Curva de grado n, determinada por n + 1 puntos de control P 0 , ..., P n , utilizando los polinomios de Bernstein B n, i (x) y n + 1 números adicionales (positivos) w 0 , ..., w n , llamados pesos . La curva se define mediante la ecuación: 
c (t) = (1 / BSum (x)) * (B n, 0 (x) * w 0 * P 0 + ... + B n, i (x) * w i * P i + ... + B n, n (x) * w n * P n ), 
donde la función BSum (x) = B n, 0 (x) * w 0+ ... + B n, i (x) * w i + ... + B n, n (x) * w n . 
c (t), para pesos positivos w i , está contenido en el casco convexo del conjunto de puntos de control. Aquí la curva se construye utilizando un pequeño script (EUC_Scripts \ EUC_Curves \ RationalBezier.txt). n es el grado de la curva de Bezier que coincide con el grado de los polinomios de Bernstein utilizados. El parámetro t varía en el intervalo [0,1]. La siguiente curva tiene puntos de control de grado 5 y 6 que se pueden mover libremente. 
Las curvas Rational Bezier de grado 2 pueden representar exactamente arcos de secciones cónicas. Esto se ilustra en el archivo ConicThroughBezierRational.html .

[0_0][0_1][0_2]
[1_0][1_1][1_2]
[2_0][2_1][2_2]

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