GEOMETRÍA DINÁMICA

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Cuadriláteros bicéntricos

Cuadriláteros bicéntricos q = ABCD son estos que tienen circuncírculo (b) e incírculo (a). También tienen una serie de propiedades relacionadas con los dos círculos y la [Colinealidad proyectiva] de q: 
1) Las diagonales AC, BD del cuadrilátero se intersectan en un punto E, que es el polo con respecto al circuncírculo (b) de la línea (d), (d) es la línea (roja) a través de los puntos de intersección F, G de los lados opuestos de q. 
2) Las diagonales HK, IJ, del cuadrilátero q 'de los puntos de contacto de q con el incircle, se intersecan también en E ortogonalmente. 
3) El polar de E con respecto a los dos círculos es la línea (d). 
4) Los círculos (a), (b) generan un haz de círculos (coaxial) (I) de tipo no intersecante. Los círculos miembros de este paquete son invariantes en la colinealidad proyectiva T del cuadrángulo q. T es idéntica a la colinealidad proyectiva T 'del cuadrángulo q'. 
5) El eje radical de los dos círculos (a) y (b) es la línea g, paralela a (d) a media distancia de E. 
6) El incentivo, el circuncentro y los puntos de intersección de las diagonales de q están en una línea (f). 
7) El círculo con diámetro FG es ortogonal al circuncírculo y pasa a través del incentivo de q. 

Las pruebas se desprenden de las observaciones: 
- (1) es una propiedad general de cuadriláteros cíclicos (consulte el archivo CyclicProjective.html ). La misma referencia prueba la ortogonalidad del círculo (e) al circuncírculo (b) de q. 
- (2) se desprende del teorema de Brianchon. Además, de (1) se deduce que (K, H, E, M) = (J, I, E, L) = -1, es decir, la línea polar de E con respecto al círculo (b) también es polar de E con respecto al incircle (a). Esto prueba (3). Como el triángulo KHF es isósceles, su base KH es ortogonal a FY y paralela al lado YG del triángulo rectángulo FYG. 
- (3) Dado que los dos círculos están separados por el cuadrángulo q, el paquete I (a, b) generado por (a) y (b) es de tipo no intersecante. Consideremos ahora la colinealidad proyectiva T de q. Por su definición, intercambia A, C y B, D. En particular, asigna el Triángulo ADC al CAB y conserva su circunferencia. Por las propiedades generales de este tipo de transformaciones, tiene como puntos fijos los puntos de la línea (d) junto con el punto E. Por lo tanto, coincide con la proyectividad dejando invariante el círculo (b) y los puntos de mapeo A, D, C a C , A, B respectivamente. Por las propiedades generales de estas proyectividades, T abandona cada círculo del paquete generado por (b) y el punto E. Considerando la colinealidad proyectiva T 'intercambiando H, K e I, J obtenemos un resultado similar para el paquete generado por (a ) y E. Pero T, T 'coinciden en H, K, I y J, De ahí que coincidan en todas partes. Esto prueba (4). 
- Por las propiedades características de las tétradas armónicas de puntos, tenemos de (Q, P, O, E) = -1, que la S media de OE satisface OE ^ 2 = OQ * OP y una relación similar para los puntos diametral en (a) definida por la línea f. Así, S pertenece al eje radical de los dos círculos. Esto prueba (5). 
- Considere ahora los segmentos GY, FY, Y como incentivo y mida su ángulo. Se demuestra fácilmente que es pi / 2. Así, el punto Y pertenece al círculo (e). Esto completa la prueba de todas las declaraciones. 

Mire el archivo ProjectiveCollinearityQuadrangle.html para una discusión de la [Colinealidad proyectiva]. 

Para las diversas formas del teorema de Brianchon, vea el archivo Brianchon2.html . Se da una referencia a una prueba elemental para el caso de un cuadrángulo.

Para la definición y discusión de las propiedades de las tétradas armónicas de puntos, vea el archivo Harmonic.html . Observe que EucliDraw tiene una herramienta que construye directamente un cuadrilátero bicéntrico (llamado allí [Bicircular]). La figura anterior muestra también un punto X y su imagen T (X), así como el punto X 'en (d) cortado por la línea [X, T (X)]. Por las propiedades generales de las proyecciones de este tipo, la tétrada es armónica (X, T (X), E, ​​X ') = -1. 

Cuadriláteros bicéntricos

Cuadriláteros bicéntricos q = ABCD son estos que tienen circuncírculo (b) e incírculo (a). También tienen una serie de propiedades relacionadas con los dos círculos y la [Colinealidad proyectiva] T de q. Estos fueron discutidos en Bicentric.html . 
Aquí ilustro una característica conectada con T. Como se muestra en la referencia anterior, los círculos (a), (b) generan un haz de círculo (coaxal) I (a, b) de tipo no intersecante. Los círculos miembros de este paquete son invariantes bajo la colinealidad proyectiva T del cuadrángulo q, que es idéntica a la colinealidad proyectiva T 'del cuadrilátero q'. La siguiente figura muestra las imágenes a través de T de los círculos (k) del haz de círculos ortogonales a I (a, b) II. Son hiperbolas rectangulares k * con centro en S, que es el punto de intersección de los ejes de los dos haces. k y su k * = T (k) son tangentes en E, que es uno de los puntos límite del paquete I (a, b). 

			Loci Bicircular Algunas propiedades adicionales de los cuadriláteros bicirculares, que se analizan en el archivo Bicentric.html .  1) Todos los bicirculares que tienen el mismo circuito en y circicírculo b, a tienen sus diagonales que pasan por el mismo punto E, que es el polo de la línea e, que es el eje radical común del haz de círculos (coaxal) I (a, b) generados por los dos círculos.  2) El lugar geométrico de sus centroides (parte media de un segmento que une dos lados opuestos) es un círculo con puntos finales de diámetro, el incentivo y el centro de EF, siendo F el circuncentro F.  3) El lugar geométrico de las partes medias de sus lados es un epitrocoide que toca el incírculo. El lugar geométrico de las partes intermedias de los segmentos que se unen a las partes intermedias de dos lados adyacentes es otro epitrocoide. En CyclicProjective.html Se ha comprobado que el círculo con diámetro EF, que es el lugar de las medias de las cuerdas de (a) que pasan a través de E, es ortogonal al círculo (g) con diámetro OM. También se ha notado que la línea XY que une los puntos intermedios de las diagonales del cuadrángulo ABCD pasa a través de N, centro de (g). Así, X, Y son inversas con respecto a (g). Extienda XN para cortar (g) en Z. Entonces (Z, L, Y, X) = -1 es una tétrada armónica. Suponga que L es el otro punto de intersección de XY con (g). Entonces, como OZ, OL son ortogonales, son las bisectrices del ángulo YOX. Pero, a partir de la similitud de los triángulos OXC y OYD, vemos que OZ, OL también son bisectores del ángulo BOA. Así, L coincide con la intersección de la bisectriz de BOA con el círculo (g). Para bicentrics este es el incentivo. Así, la línea XY intersecta EF en el incentivo L.