GEOMETRÍA DINÁMICA

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 Identidad cuadrada básica

En un cuadrángulo con lados de longitud fija a, b, c, d la expresión a * b * cos (x) - c * d * cos (y), donde x es el ángulo de (a, b) y y el ángulo de (c, d) permanece constante e igual a (1/2) (a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2-d ^ 2).

a * b * cos (x) es la potencia de F con respecto al círculo con diámetro EK. c * d * cos (y) es la potencia de N con respecto al mismo círculo. Por lo tanto, la expresión es igual a la diferencia de los cuadrados: (PF) ^ 2 - (PN) ^ 2. Esto se evalúa fácilmente a (1/2) (a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2-d ^ 2), usando la fórmula para las medianas PF, PN de los triángulos EFK y ENK respectivamente. 

La fórmula para la mediana: a ^ 2 + b ^ 2 = 2 * m + (c ^ 2) / 2, donde m es la longitud de la mediana al lado c de un triángulo con longitudes laterales a, b, c. Esto se demuestra fácilmente, usando el teorema de Pythagora. 

Identidad cuadrada básica (2)

Considere un cuadrilátero q = ABCD. Las siguientes observaciones (ejercicios) llevan a la prueba de una identidad para cuadriláteros, señalada originalmente por Michael Metaxas: área (q) / tan (phi) = (1/4) (| AD | ² + | BC | ²- | AB | ²- | DC | ²).

Considere un cuadrilátero q = ABCD. Dibuje paralelos a sus diagonales para construir el paralelograma p = FGHI. Dibuje los circuncírculos de los triángulos resultantes AED, EDC, CEB y BEA. Demuestre lo siguiente: 
1) El cuadrilátero con vértices en los centros de estos círculos p = IJKL es un paralelogramo similar a p. 
2) Los triángulos EKL, ELI, EIJ, EJK son correspondientemente similares a ADC, BAD, CBA, DCB. 
3) La relación de similitud de todos estos triángulos semejantes (y los paralelogramos) es 2sin (phi). 
4) (1/2) | AC || BD | sin (phi) = área (q) y | AC || BD | cos (phi) = | MH | ² - | MG | ² = (| NL | ² - | NK | ²) 4sin² (phi) = (| JL | ² - | IK | ²) sin² (phi) = 2 (| EL | ² + | EJ | ² - | EI | ² - | EK | ²) sin² ( phi) = (1/2) (| AD | ² + | BC | ²- | AB | ²- | DC | ²). 
5) área (q) / tan (phi) = (1/4) (| AD | ² + | BC | ²- | AB | ²- | DC | ²). 
6) 4 | AC | ² | BD | ² - 16area (q) ² = (| AD | ² + | BC | ²- | AB | ²- | DC | ²) ². 
7) Concluya que un cuadrilátero es [ortodiagonal] si y solo si (| AD | ² + | BC | ²- | AB | ²- | DC | ²) = 0. 

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