domingo, 9 de diciembre de 2018

GEOMETRÍA DINÁMICA

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Generación de la parábola artzt II

Dado un triángulo ABC, la parábola de Artzt con relación al lado BC (ver Artzt.html ) es la parábola tangente a los lados AB, AC en los puntos B y C, respectivamente. Aquí se muestra que esta parábola es la envoltura de las diagonales GF de los paralelogramas AGEF para un punto E que se desliza en BC.

[0_0][0_1][0_2]
[1_0][1_1][1_2]

La idea clave es usar los muchos triángulos similares creados por la figura. La figura que se complementa con la línea simidiana AI y la mediana de la EA. Los siguientes hechos resultan fácilmente: 
[1] Los circuncírculos de los triángulos AGF pasan a través de un punto fijo M en el AI simmedio. 
De hecho, sea G el punto de intersección de este circuncírculo con el lado AB. Entonces los triángulos MGB y MFA son similares. Tienen ángulo (BGM) = ángulo (AFM). Tienen MG / GF = c / b y finalmente también BG / AF = c / b. La primera igualdad se debe a la propiedad característica de los puntos en el simmediano (ver [3] en Symmedian_0.html ). Segundo porque AF es paralelo e igual a GE. Por lo tanto, el ángulo (GBM) = ángulo (MAF) es constante y M permanece fijo.
[2] ángulo (MGF) = ángulo (MAF) también es fijo. Por lo tanto, la proyección de M en GF crea un triángulo rectángulo MGQ, que al variar la variación de E permanece siempre similar a sí mismo, tiene los vértices fijos M y G deslizándose en la línea AB. Por lo tanto (ver Similarly_Rotating.html ) el otro vértice Q se desliza en una línea L . Esta línea es la tangente de la parábola de Artzt en su vértice. Los siguientes comentarios confirman esta afirmación. 
[3] La línea L es ortogonal a la mediana de la EA. 
Esto se ve considerando la posición especial M'M''M del triángulo MGQ (ibid), en la que M 'es el punto de intersección de AB con L y M' 'la proyección de M en el ángulo L. (AM'M' ') = ángulo (M'MM' ') = pi / 2-angle (GAK) y esto prueba la afirmación.

Esto se debe a que el ángulo (AMG) = ángulo (AFG) y el ángulo (GAM) = ángulo (KAF). Más tarde por la simetría de la bisectriz AH. 
[5] Sea O la intersección del paralelo a la mediana de E con FG. Los triángulos AGK, EFO, GMO son similares a AMF . 
De hecho, por [3] AG / AK = AM / AF y ángulo (GAK) = ángulo (MAF). Esto demuestra la similitud de los triángulos GAK y MAF. Por el paralelogramo, el triángulo EFO es igual al triángulo AGK. También el triángulo GOE y AKF son iguales y tenemos ángulo (MGO) = ángulo (GAK) y GM / AG = AK / KF = AK / GO. Esto demuestra la similitud de los triángulos GAK y MGO. 
[6] Tome la P simétrica de M con respecto a Q. P se mueve en una línea L ', paralela a L a doble distancia de M que la distancia de L a M (obvia). 
[7]OP es paralela a la mediana e igual a OM. 
Esto también es obvio, por la similitud de los triángulos GOM y EOF, por los cuales O, P y E están en la misma línea. 
[8] O está en la parábola con el foco M y la directriz L '. GF es la tangente a esa parábola en O.
Obvio del comentario anterior y las propiedades generales de las parábolas (ver Parabola.html ). 


Observaciones
[1] La discusión aquí es una alternativa a la de Artzt_Generation.html , donde el uso de coordenadas proyectivas (trilineales) da una prueba aparentemente más simple. Se necesitarían algunos cálculos más para ubicar la directriz y el foco de la parábola, que aquí se determinan explícitamente, como también lo es el punto de tangencia O.
[2] Las propiedades probadas aquí podrían considerarse una secuela o un complemento de las estudiadas en ParabolaChords.html y ParabolaSkew.html .













Artzt Parabolas de segunda clase.

Considera un triángulo ABC. Tome las bisectrices interiores / exteriores en el ángulo C y las líneas mediales de los lados CA, CB. Las cuatro líneas Ares tangentes simultáneamente a una parábola q C . Análogamente se definen otras dos parábolas q A , q B , correspondientes a los otros vértices del triángulo ABC. Estas tienen, entre otras, las siguientes propiedades: 
[1] El foco de q C está en el simmedio de C en el vértice correspondiente del segundo triángulo de Brocard. 
[2] La directriz de la parábola q C es la mediana de C. 
[3] La línea de middles B'C' de lados CA, CB también es tangente a q C . 
[4] La línea media PN del B'C 'anterior también es tangente a qC . 
Parabolas como q C se llaman artzt parabolas de segunda clase . También hay aquellos de primer tipo examinados en Artzt.html .

[0_0][0_1][0_2]
[1_0][1_1][1_2]
[2_0][2_1][2_2]

De acuerdo con Miquel (ver Miquel_Point.html ) el foco F es el punto de intersección común de los circuncírculos de los cuatro triángulos DCJ, CEK, DEL, JLK, desde donde los dos primeros están en ángulo recto en C, el tercero y el cuarto son isósceli . 
- ángulo (B''CJ) = ángulo (B'JC) = pi / 2 - C / 2, implica que B''C es ortogonal a BC. Análogamente, CC '' es ortogonal a AC. Por lo tanto, los triángulos ACF y CBF son similares con ángulos iguales en F y ángulo (FBC) = ángulo (ACF). Además del ángulo (AFB) = 2 * ángulo (C) y CF bisectes ángulo (AFB). Esto caracteriza al CF simmedio, y también a F como el vértice correspondiente del segundo triángulo de Brocard. 
C está en la directriz de la parábola q Cimplica que la simetría de F con respecto a la tangente CJ, que bisecta el ángulo C, también está en la directriz. Así, más tarde coincide con la simetría del CF simmedio con respecto a la bisector CJ, que lo identifica con el CM mediano. 
- Observe la igualdad de ángulo (ICB) = ángulo (ACF) = ángulo (FBC), por lo tanto, la concurrencia de las líneas C'C '', FB y CI en el mismo punto. Del mismo modo la concurrencia de las líneas AF, B'B '', CI en el mismo punto.
- Dibuje el diámetro QR del circuncírculo que es ortogonal al lado AB. El ortogonal de AB a P, medio de B'C ', cumple con CE en el punto N, medio de DE (ya que P es el centro de CM), por lo tanto, el cuadrilátero CNC'L es cíclico, su circunferencia (d) es tangente al circuncírculo (tiene el radio LC como un diámetro). Además se pasa por B ', simétrico de C' con respecto a NP. También CK y NP se intersecan en S en (d). 
- (d) pasa a través de F. De hecho, FB ', siendo FC' las medianas de triángulos semejantes AFC, CFB, implica que el ángulo (B'FC ') = ángulo (AFC) = pi-C. 
- La simetría de F con respecto a PN es T, el punto de intersección de (d) con CP. De hecho, CS es la bisectriz de ángulo (FCT) identifica T en este lugar.
- Por la simetría anterior, CFTS 'es un trapecio isósceles cuyo ángulo de diagonales está bisecado por las líneas NS y B'C'. Por lo tanto, la simetría de F con respecto a B'C 'está en la directriz CP. Por lo tanto B'C' también es tangente a la parábola q C .














Parábola de Artzt en triángulo isósceles.

Considere un triángulo isósceles ABC y su circunferencia O (r). Dibuje la línea a 'paralela a su base a en el mismo lado con el punto A y en la distancia r desde a. Tome el punto P que varía en base a y deje que P 'sea el punto de intersección con a' de la línea ortogonal a ay que pase por P. 
[1] Dibuje OP 'y el acorde QQ' a través de P y paralelo a OP '. Q 'es un punto fijo en el círculo. 
[2] OAP'P y OP'PQ 'son paralelogramos. Cuadrángulo OPQP 'es un trapecio isósceles. 
[3] El punto de intersección W de las diagonales del trapecio describe una parábola c . 
[4] Esta parábola es la parábola de Artzt que pasa por {B, C} y tangente allí a los lados del triángulo.

[0_0][0_1][0_2][0_3]
[1_0][1_1][1_2][1_3]

Las pruebas son fáciles. 
[1] se deduce del hecho de que al dibujar OQ 'ortogonal a a, el resultado OP'PQ' es un paralelogramo. 
[2] se deduce de [1] y la igualdad OQ = OA = P'P = r. 
[3] se deduce del hecho de que la línea medial t W de OP 'pasa a través de W, que coincide con el punto de intersección de esta línea t W y la línea vertical P'W hasta a' en P '. Esta es una definición estándar de la parábola. W describe una parábola con el foco en O y dirige la línea a '. 
[4] se deduce del hecho de que t W obtiene las posiciones de {AB, AC} cuando OP 'es respectivamente ortogonal a estas dos líneas (consulte Artzt.html para la definición de estas parábolas).

[un logo] 2. Homografía mapeando círculo a parábola.

Como es bien sabido (ver Proyectividad.html ), la proyectividad se define al prescribir los puntos de imagen {Y i , i = 1, .. 4} de cuatro puntos {X i , i = 1, ..., 4} en general posición. Por lo tanto, existe una proyectividad F única con las propiedades: 
(i) F arregla los puntos {B, C, O} y 
(ii) F asigna A a W 0 . 
- Se desprende fácilmente (ejercicio) que F corrige cada punto de la línea BC y también deja invariante cada línea que pasa a través de O (mapea dicha línea dentro de sí fijando O y su punto de intersección con BC). 
- Al usar esto y la invariancia de la línea AO, se puede ver fácilmente que cada línea paralela a BC se asigna a una línea también paralela a BC. En particular, el paralelo a BC a través de A se asigna al paralelo a BC a W0 . 
- Al usar relaciones cruzadas en toda la línea AO, se ve fácilmente que la línea tangente t del círculo en Q 'se asigna a través de F a la línea en el infinito . 
- Del resultado anterior se desprende también inmediatamente que las tangentes {t B , t C } al círculo, mapean a través de F a los lados {BA, CA} respectivamente. 
- De estos hechos se deduce que los puntos {A, B, C} y las tangentes al círculo en estos puntos se asignan a {W 0 , B, C} y las tangentes a la parábola en estos puntos de manera correspondiente. Por lo tanto, también el círculo se mapea vía F a la parábola de Artzt c .

[un logo] 3. Artzt parábola y circuncírculo.

Las propiedades anteriores indican una relación entre la parábola de Artzt y el circuncírculo del triángulo. Esta relación no se generaliza inmediatamente a los triángulos arbitrarios, sus circuncírculos y sus parábolas Artzt. Sin embargo, hay una generalización que involucra la elipse externa de Steiner. La discusión relacionada con estos asuntos continúa en ArtztSteiner.html .

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