domingo, 9 de diciembre de 2018

GEOMETRÍA DINÁMICA

REEDIRIGIDA POR LA FANTÁSTICA WEB : http://users.math.uoc.gr

Sobre Artzt parabolas de isosceli.

Hay varias formas de generar las parábolas de Artzt (consulte Artzt.html y las referencias allí). Aquí discuto una particular a las isósceles y la parábola tangente a sus piernas iguales. 
Comience con la parábola c en sí y considere un punto P que varía en ella. Tome también dos puntos arbitrarios {A, C} en el eje de simetría M de las isósceles. Dibuje dos líneas a través de P: (i) línea AP y (ii) el paralelo P P a M de P. La segunda línea interseca la base L del triángulo en un punto E. Defina el punto Q como el punto de intersección de las líneas AP y CE A medida que P se desplaza sobre c, el punto Q describe una c cónica. 

La prueba sigue como un caso especial de una generación cónica discutida en MaclaurinLike.htmlLas suposiciones de la propiedad probada allí se aplican si uno complementa los dos puntos {A, C} en la línea M con su punto en el infinito B. Luego, la línea M P definida anteriormente desempeña el papel de BP en la referencia mencionada anteriormente. 
Por la discusión en esa referencia también sabemos que hay una proyectividad que mapea la parábola c a la c ', que es una perspectividad con relación de homología k = (A, O, B, C). Esta relación se obtiene también para todas las cuadruplicaciones de puntos como (A, P ', P, Q), donde P' es el punto de intersección de AP con la línea L. En particular, cuando P va a infinito (= B), luego P '= O y Q = C, entonces k = (A, O, B, C) = CO / CA. 
Usando esto podemos encontrar el otro punto de intersección C'of c 'con la línea M y construir la cónica.

[0_0][0_1][0_2]
[1_0][1_1][1_2]

Problema
Encuentre todas las posiciones de {A, C} para las cuales la correspondiente c 'es un círculo. 
- Como se ve en ArtztIsosceles.html, el circuncírculo es un caso así, pero hay infinitos círculos que tienen esta propiedad. 
- De hecho, cada miembro del círculo del paquete a través de los puntos {I, J} tiene esta propiedad. 
ArtztIsosceles3.html contiene la figura y las declaraciones relevantes.













Generación de parábola utilizando un círculo.

Considere un acorde IJ de una parábola c, que es ortogonal a su eje. Sea también c 'un círculo en el mismo acorde IJ. Considere un punto P que se mueve en la parábola c y dibuje un paralelo a su eje que interseca la línea JI en E. Sea Q el segundo punto de intersección de la línea AE con el círculo, donde {A, H} son puntos diametral del círculo en la Eje de la parábola. Sea también O el centro de JI y O P el punto de intersección de PQ con JI. Finalmente, sea C el punto de intersección de PQ con el eje de la parábola. Los cálculos a continuación se realizan en el sistema de coordenadas con origen en O, línea JI como eje x y línea OH como eje y. Las siguientes propiedades se mantienen. 
[1] C es un punto fijo en el eje. 
[2] La relación cruzada k = (C, O P , P, Q) es constante.
[3] Los puntos de fijación de proyectividad {I, J, C} y mapeo de G a H es una perspectividad con coeficiente de homología k y mapea la parábola al círculo.

[0_0][0_1]
[1_0][1_1]

Las propiedades siguen de la primera, que es un cálculo fácil. De hecho, si D (0, d) el centro del círculo, E (x, 0), entonces P (x, y) tiene la forma (parábola) y = sa * x 2 , con s / a = OJ 2 = R 2 - d 2 . Luego EQ * EA = EJ * EI = (OJ-x) * (OJ + x) = OJ 2 -x 2 ... etc., Lo que lleva a AC = 2a (R 2 -d 2 ) y la constancia de C. 















Artzt parábola y Steiner elipse exterior

Las parábolas Artzt de un triángulo (de primer tipo) están relacionadas con la elipse de Steiner externa. La siguiente figura ilustra la conexión. 
Comience con el centroide G de ABC, la mediana AG, G 'la mitad de AG y Q' el otro punto de intersección de la mediana con la elipse de Steiner externa. 
Tome un punto P en la base BC del triángulo ABC y dibuje un PP paralelo a la mediana de AG. 
Defina P 'como el punto de intersección de este paralelo con la línea paralela a la base BC a G'. 
Finalmente, defina que Q sea el otro punto de intersección de la línea Q'P con la elipse de Steiner externa. 
[1] Los triángulos AP'G y GPQ 'son iguales. GP'QP es un trapecio.
del triángulo ABC (ver Artzt.html ).

[0_0][0_1][0_2]

Una prueba muy simple de estos hechos resulta de la aplicación de una afinidad a un caso trivial del teorema sobre un triángulo equilátero. En ArtztIsosceles.html hay una discusión análoga para el caso de un triángulo isósceles. Los resultados se aplican en particular al caso de un triángulo equilátero. Luego, utilizando la afinidad que asigna los vértices + centroide del equilátero a los vértices correspondientes + centroide del triángulo general, obtenemos las pruebas de las propiedades establecidas.

[un logo] 2. Homografía del mapeo de la elipse a la parábola.

Como es bien sabido (ver Proyectividad.html ), la proyectividad se define al prescribir los puntos de imagen {Y i , i = 1, .. 4} de cuatro puntos {X i , i = 1, ..., 4} en general posición. Por lo tanto, existe una proyectividad F única con las propiedades: 
(i) F arregla los puntos {B, C, G} y 
(ii) F asigna A a W 0 . 
- Se sigue fácilmente (ejercicio) que F corrige cada punto de la línea BC y también deja invariante cada línea que pasa a través de G (mapea dicha línea en sí fijando G y su punto de intersección con BC).
- Al usar esto y la invariancia de la línea media AG, se puede ver fácilmente que cada línea paralela a BC se asigna a una línea también paralela a BC. En particular, el paralelo a BC a través de A se asigna al paralelo a BC a W 0 . 
- Al usar relaciones cruzadas en toda la línea AG, se puede ver fácilmente que la línea tangente t de la elipse en Q 'se asigna a través de F a la línea en el infinito . 
- Del resultado anterior se desprende también inmediatamente que las tangentes {t B , t C } a la elipse en {B, C}, mapean a través de F a los lados {BA, CA} respectivamente. 
- De estos hechos se deduce que los puntos {A, B, C} y las tangentes a la elipse en estos puntos se asignan a {W 0, B, C} y las tangentes a la parábola en estos puntos de manera correspondiente. Por lo tanto, también los mapas de la elipse a través de F a la parábola de Artzt c .

[un logo] 3. Generalización a triángulo arbitrario cónico.

La elipse externa de Steiner es el modelo distinguido de las cónicas de triángulos más generales (ver TriangleConics.html ) que circunscribe un triángulo dado y se determina a través de un punto particular, no en las líneas laterales del triángulo, llamado perspector del triángulo cónico. Las diversas cónicas de triángulos están permutadas por proyecciones que fijan los vértices de triángulos y mapean sus perspectores, uno a otro. Por lo tanto, todas las propiedades proyectivas obtenidas para una cónica de triángulo particular (como la elipse de Steiner externa) pueden transferirse mediante proyectividades apropiadas a cualquier otra cónica de triángulo. El archivo ArtztSteiner2.html examina cómo las propiedades estudiadas aquí se transfieren a un triángulo general cónico determinado por un perspector arbitrario K.

No hay comentarios:

Publicar un comentario