GEOMETRÍA DINÁMICA

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Las tres parábolas artzt de un triángulo.

Por cada triángulo ABC hay tres parábolas denotados por P _AB , p _aC , p _CA . La parábola p _AB pasa por A, B y está tangente allí a los lados CA, CB respectivamente. Análogamente se definen las otras parábolas. El archivo Artzt.html comienza la discusión de las propiedades básicas de estas curvas. Aquí hay algunos datos adicionales. 
[1] Sus ejes son paralelos a las medianas del triángulo ABC. 
[2] La parábola p _AB es tangente a la línea DE en su centro, D, E es la parte media de los lados AC, BC. Resultado análogo para las otras parábolas. 
[3] Sus puntos focales coinciden con los vértices del segundo triángulo de Brocard de ABC.
[4] Cada par de parábolas tiene un punto de intersección en la mediana que es paralelo al eje de la tercera parábola. 
[5] Los tres puntos de intersección A ', B', C 'de [4] definen un triángulo homotético a DEF con respecto al centroide J de ABC y con una relación de homotecia igual a 2/3. 
[6] La tangente a la parábola p _BC en A 'es paralela al eje de la otra parábola a través de ese punto (paralelo a la mediana de BE). 
Las parábolas de Artzt de 2º tipo se describen en el archivo Artzt2.html .

[1,2] Seguir de datos generales sobre parábolas. Parabola p _BC, por ejemplo, es el miembro de la familia bittangente U * Vk * W ² = 0, pasando por G. U, V que denota las ecuaciones de AB, AC y W que de la línea BC. [3] se discute en la referencia en el segundo triángulo de Brocard. 
La ubicación precisa de los puntos B ', C' en las diagonales del trapecio FECB se describe en el archivo ParabolaTrapezium.html .

Generación canónica de la parábola artzt.

Comience con un ejercicio fácil: 
considere un triángulo rectángulo isósceles OXY. Proyecte los puntos P de la hipotenusa en P _x , P _y en sus lados ortogonales y al punto F 'en paralelo a XY desde O. El punto de intersección Z de P _x P _y y FF', siendo F la mitad de XY, tiene La propiedad ZF = ZF '.

[1] El círculo (c) que circunscribe el rectángulo PP _y OP _x pasa por F 'y F (ambos ven OP en un ángulo recto). 
[2] OFPF 'es un rectángulo, FF' es un diámetro de (c) y es ortogonal a P _x P _y ya que el ángulo (P _y OF) = pi / 4. 


Esta propiedad muestra que Z se encuentra en una parábola con foco F y directriz DE '. Además, muestra que P _x P _y es tangente a esta parábola en Z. La parábola pasa a través de los puntos X, Y y esto lo identifica con la parábola Artzt del triángulo OXY en relación con el lado XY. Esta parábola se caracteriza por su propiedad de ser tangente a los lados OX, OY en los puntos X, Y respectivamente.
Es interesante transferir la construcción anterior a un triángulo arbitrario a través de un mapa de afinidad OXY a ese triángulo.

La figura de arriba muestra la parábola de la imagen bajo la afinidad P '= A (P) transformando OXY en el triángulo arbitrario O'X'Y'. El mapa respeta paralelismo pero no relaciones métricas y ortogonalidad. P _x , P _{y se} asignan a P ' _x , P' _y , de modo que P'P ' _x es paralelo a O'X' y P'P ' _y paralelo a O'Y'. P ' _x P' _y es la diagonal del paralelogramo P'P ' _x O'P' _y y nuevamente es tangente a la parábola. 
Así, la parábola de Artzt, en el caso general, es la envoltura de diagonales de paralelogramos construidos a partir de los puntos P '
El enfoque y la directriz no se conservan en general. Por lo tanto, F ₁ = A (F) no es más el enfoque, sino solo la mitad de X'Y '. El eje de la parábola, sin embargo, es paralelo a la mediana O'F ₁ . Interesante es también la elipse c '= A (c), que pasa a través de los seis puntos {O', F ₂ , P ' _y , P', F ₁ , P ' _x } y tiene su centro en el centro de F ₁ F ₂ .

 Generación de la parábola de Artzt.

Dado un triángulo ABC, la parábola de Artzt con relación al lado BC (ver Artzt.html ) es la parábola tangente a los lados AB, AC en los puntos B y C, respectivamente. Aquí se muestra que esta parábola es la envoltura de las diagonales B'C 'de los paralelogramos AB'PC' para un punto P que se desliza en BC.

La prueba presentada aquí se modela como un ejercicio en el uso de coordenadas trilineales (ver Trilinears.html ). Los trilineales (generalizados) utilizados aquí se definen a través de la base proyectiva {A, B, C, D}, siendo D la mitad de la AM mediana del triángulo. 
En este sistema, estos cuatro puntos básicos tienen coordenadas {A = (1,0,0), B = (0,1,0), C = (0,0,1), D = (1,1,1)} . Las líneas laterales de los triángulos corresponden a las ecuaciones BC (x = 0), CA (y = 0), AB (z = 0). Un punto en AB tiene coordenadas (0, s, t). La línea en el infinito corresponde a la ecuación 2x ​​+ y + z = 0 y su intersección con la línea ax + por + cz = 0, es el punto en el infinito del último y tiene coordenadas (bc, 2c-a, a-2b). Estas observaciones permiten la determinación de las dos líneas desde P paralelas a las líneas laterales del triángulo.
Las líneas PB ', PC' asumidas en la forma ax + by + cz = 0 deben satisfacerse mediante (0, s, t), dando así bs + ct = 0, una solución de lo que es más tarde (b = -t, c = s). 
PB 'es paralelo a AC (y = 0), por lo tanto, su punto en el infinito es (1,0, -2). Como esto satisface también la ecuación de línea, obtenemos para ello los coeficientes (a = 2s, b = -t, c = s). 
Análogamente, PC 'es paralelo a AB (z = 0) y tiene un punto en el infinito (-1,2,0), por lo tanto (a = -2t, b = -t, c = s). Por lo tanto, las dos líneas son PB '(2sx-ty + sz = 0) y PC' (- 2tx-ty + sz = 0). Sus puntos de intersección B 'con z = 0, y C' con y = 0 satisfacen correspondientemente 2sx-ty = 0, satisfechos por (x = t, y = 2s) y -2tx + sz = 0, satisfechos por (x = s , z = 2t). Así, B '(t, 2s, 0) y C' (s, 0,2t) y su línea B'C 'están dados por (2st) x- (t ² ) y- (s ² ) z = 0.
Al calcular la envolvente de estas líneas, llegamos a la ecuación x ² -yz = 0, que representa una tangente cónica a AB, AC en los puntos B, C correspondientemente y pasando a través de D. 
Para ver que esto es una parábola, encuentra sus puntos en el infinito es decir, resuelva el sistema {x ² = yz, 2x + y + z = 0}, y el ajuste x = - (y + z) / 2 en los primeros da (yz) ² = 0 y finalmente el punto único en el infinito (- 1,1,1). Esto demuestra ya que la cónica es una parábola. Se podría omitir el siguiente párrafo, pero sirve como prueba para los cálculos.
Las tangentes a un punto de la curva tienen coeficientes proporcionales a (2x, -z, -y), por lo tanto, para su punto en el infinito (-1,1,1) la tangente tiene coeficientes (-2, -1, -1) = - (2,1,1), por lo tanto, coincide con la línea en el infinito. Esto completa la prueba de que la curva es una parábola y la identifica con la parábola de Artzt como se afirma. 

Para una prueba sintética alternativa del mismo hecho, vea el archivo Artzt_Generation2.html .