GEOMETRÍA DINÁMICA

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 Proyección sobre tangentes.

Dibuje las tangentes {AB, AC} al círculo c desde el punto A. Para cada punto D en el círculo se mantiene la relación básica: 
DE ² = DB '* DC', 
E denota la proyección en el acorde BC de los puntos de contacto y {B ', C'} denota correspondientemente las proyecciones en las tangentes {AB, AC}. 

Sigue inmediatamente la similitud de los triángulos DBC, DB'E, DEC '. 
Observe que los cuadrángulos DEBB 'y DC'CE son similares. Si se modifica el triángulo DEC 'para que permanezca similar a sí mismo mientras que C' se desliza en AC, entonces E se moverá en BC (consulte el artículo de rótulo.html ). Declaración análoga se mantiene para el triángulo DB'E.

 2. Productos de distancias.

Para cada punto D del circuncírculo de un triángulo, los productos de las distancias son iguales: 
DA '* DB' * DC '= DA' '* DB' '* DC' '. 
Aquí {A ', B', C '} son las proyecciones de D en los lados de ABC y {A' ', B' ', C' '} las proyecciones de D en las tangentes en {A, B, C} correspondientemente

Basta con aplicar la relación básica de (1) para cada ángulo del triángulo tangencial: DB ' ² = DA' '* DC' ', DC' ² = DB '' * DA '', DA ' ² = DC' ' * DB ''. Luego multiplica las ecuaciones y simplifica. 

Observación La misma prueba sirve para la generalización de los polígonos cíclicos A ₁ ... A _n y los polígonos tangenciales correspondientes B ₁ ... B _n , creados mediante el dibujo de tangentes en A ₁ , ..., A _n . Si D es un punto en el circuncírculo del polígono y {X ₁ , ..., X _n } denota las proyecciones de D en los lados y {Y ₁ , ...,} sus proyecciones en los lados del polígono tangencial luego 
DX ₁ * ... * DX _n = DY ₁ * ... * DY _n .

 3. Proyección desde el circuncírculo.

Sea P un punto en el circuncírculo c (O, r) de un cuadrángulo cíclico ABCD. 
[1] Proyecto P en dos lados consecutivos, {AB, AD} dice, para crear un triángulo PGH. Análogamente proyecte en los otros dos lados consecutivos {CB, CD} para crear un triángulo PEF. Los dos triángulos son similares. Esto sigue fácilmente por el argumento de persecución del ángulo. 
[2] Los circuncentros {O _A , O _C } de los triángulos PGH y PEF tienen O _A O _C paralelo a AC y la mitad de su longitud. 
[3] Las declaraciones análogas se mantienen para los triángulos creados de manera similar al seleccionar el otro par de vértices opuestos {B, D}. 
[4] Los circuncentrantes de los cuatro circuncírculos {O _A , O _B , O _C , O_D }, el centro O y P se encuentran todos en un círculo c 'con un radio de la mitad del radio r de c, por lo tanto, también tangente a c. 
[5] Proyecta D en pares de lados opuestos {AB, CD} para crear un triángulo PJI y {AD, BC} para crear PKL. 
área (PLK) / área (PJI) = sin (x) / sin (y), 
donde {x, y} son los ángulos formados por lados opuestos. Por lo tanto, este cociente de área es independiente de la posición de P en el círculo.

[2,3,4] Se desprende del hecho de que {PA, PB, PC, PD} son diámetros de los circuncírculos de triángulos considerados. 
[5] Es una consecuencia de las similitudes anteriores. 

Observación Cuadrángulo O _A O _B O _C O _D es homotético de P a ABCD, siendo la relación de humedad 1/2.

Una generación de círculos.

Comience con un triángulo equilátero ABC y el punto diametral D de A en su circunferencia. Para cada línea a través de D, considere los puntos de intersección {E, F, G} con los lados {BC, AB, AC} correspondientemente. Luego, su cuarto punto armónico coincide con el segundo punto de intersección H de la línea con el circuncírculo. E inversamente, al unir cada punto H del circuncírculo a D e intersecar con la línea DH los lados del triángulo encontramos puntos tales que (F, G, E, H) = -1.

La prueba sigue inmediatamente observando que en el punto H los ángulos BHA y AHC son iguales, cada uno de los cuales es de 60 grados. Por lo tanto, las líneas {HA, HD} son bisectrices del ángulo BHC, por lo tanto, H (B, C, E, I) es un paquete armónico, por lo tanto, A (F, G, E, H) también es un paquete armónico, lo que demuestra la afirmación. El inverso

 2. Generación circuncónica.

Dado un triángulo ABC y una circunferencia (c) con perspector P. Sea D el otro punto de intersección de AP con c. Para cada línea a través de D, sea {B ', C', A '} los puntos de intersección con los lados {AB, AC, BC} respectivamente. Luego, el cuarto armónico A '' de estos puntos, es decir, un punto tal que: (B ', C', A ', A' ') = -1 está en la cónica. 
A la inversa, dado un triángulo ABC y un punto D no en las líneas laterales del triángulo, considere todas las líneas a través de D y las intersecciones correspondientes con estas líneas {A ', B', C '}. Sea entonces A '' el cuarto armónico de estos tres puntos: A '' = A '(B', C ') (es decir, (B', C ', A', A '') = -1). Luego, el punto A '' describe una cónica que circunscribe el triángulo ABC y pasa a través de D. 

La prueba se desprende de la sección anterior aplicando al proyectil un proactividad apropiada transformándolo al triángulo general ABC y el centro del equilátero al perspector P de la cónica c.

 3. Y una especialización.

Dadas dos líneas paralelas {b, c} y una tercera línea (a) que las intersecan, considere todas las líneas a través de un punto fijo D que no se encuentran en las tres líneas dadas {a, b, c}. Para cada línea a través de D, defina los puntos de intersección {A, B, C} con las líneas {a, b, c} de manera correspondiente. El cuarto armónico E en cada línea, es decir, un punto tal que (B, C, A, E) = -1 describe una hipérbola.

Esta propiedad se deduce de la sección anterior al permitir que el punto A del triángulo ABC que se muestra allí vaya al infinito. Cuando A coincide con la intersección M de la línea (a) con el paralelo medio (m) de las líneas {b, c}, E va al infinito, desde donde sigue esa línea DM es paralela a una asíntota. La otra asíntota obviamente es paralela a las líneas {b, c}. Cuando A obtiene la posición de M '(paralela a la proyección b de D en a) los puntos {B, C, E} van al mismo punto en el infinito. Además de los puntos {B ₀ , C ₀ , D} desde donde pasa la hipérbola, también conocemos el punto M ', que es la proyección de D en la línea (m) paralela a la línea (a). Esta posición es obtenida por E cuando A va al infinito en a y DA se vuelve paralela a la línea (a).
Un punto fácilmente construible es el punto D 'en la línea a través de D, que es ortogonal a la línea (a). Luego, la cónica se puede identificar con la cónica única que pasa a través de los cinco puntos {D, C ₀ , B ₀ , M '', D '}.

 4. problemas

[1] Encuentra la hipérbola que pasa a través de los vértices de un trapecio y que tiene direcciones conocidas de asíntotas. (Podría usar la propiedad que se muestra en el párrafo anterior, pero esto maneja un caso especial de trapecio, de modo que el paralelo a una asíntota desde la mitad de un lado B ₀ C ₀ pasa a través de otro vértice del trapecio.) 
[2] El mismo problema para el cuadrángulo general en lugar de la hipérbola. 
[3] Encuentra la estructura de todas las hipérbolas que pasan a través de los vértices de un trapecio. 
[4] Mismo problema para un cuadrángulo general.

 Generación de circunferencias tangentes a una línea.

Considere un triángulo ABC y una línea L. El conjunto de circunclones de ABC que son tangentes a la línea L tiene una estructura agradable que se discutió en CircumconicsTangentToLine.html . Aquí hay una manera de generar tal cónica a través de intersecciones de línea. 
Deje que la cónica pase a través de los vértices de ABC y sea tangente a la línea L en su punto Q. Tome un punto arbitrario R en la línea L. Únase a R y Q con los vértices del triángulo preceviano A ₀ B ₀ C ₀de ABC con con respecto a la línea L. A través de los puntos de intersección de las líneas creadas se forman cuadrángulos. Entre ellos hay tres que tienen los lados de A ₀ B ₀ C ₀como diagonales. Las otras diagonales de estos tres cuadrados pasan por el mismo punto P que se encuentra en c.

La propiedad es el resultado de una propiedad análoga para las parábolas estudiadas en CircumparabolaGeneration.html . 
De hecho, considere la proyectividad (f) que corrige los vértices de ABC y mapea el tripolo T de L con respecto al triángulo ABC al centroide de ABC. Luego, L se asigna a través de (f) a la línea en el infinito y la propiedad se reduce a la correspondiente para las parábolas discutidas en la referencia mencionada anteriormente.