GEOMETRÍA DINÁMICA

Generación maclaurina de una hipérbola relacionada con el triángulo equilátero.

Considere un triángulo equilátero ABC y su centroide (centro) D. Dibuje a través de D una línea arbitraria que cruza los lados AB, AC en los puntos X, Y respectivamente. Encuentre el lugar geométrico del punto de intersección P de las líneas BY, AX.

El locus es una hipérbola. La prueba podría deducirse del teorema general sobre la generación de cónicas de Maclaurin (ver Maclaurin.html ). Aquí doy la prueba un poco más simple como un ejercicio en el uso de coordenadas trilineales (ver Trilinears.html ). Los trilineales se definen a través de la base proyectiva {A, B, C, D}, siendo D el centroide del triángulo. 
En este sistema, los cuatro puntos básicos tienen coordenadas {A = (1,0,0), B = (0,1,0), C = (0,0,1), D = (1,1,1)} . Las líneas laterales de los triángulos corresponden a las ecuaciones BC (x = 0), CA (y = 0), AB (z = 0). La línea en el infinito corresponde a la ecuación x + y + z = 0 y su intersección con la línea ax + por + cz = 0, es el punto en el infinito del último y tiene coordenadas (bc, ca, ab). Esto se utilizará a continuación. Ahora el cálculo:
[1] Un punto X en AB tiene coordenadas (s, t, 0). 
[2] La ecuación de la línea XD es tx-sy + (st) z = 0. Su punto de intersección Y con AC viene dado por (ts, 0, t). 
[3] Las líneas BY y CX se dan de manera correspondiente mediante ecuaciones: tx + (st) z = 0, tx - sy = 0. 
[4] Su intersección tiene coordenadas x = s (ts), y = t (ts), z = st, que al eliminar (s, t) da la ecuación: 
yz - zx - xy = 0.
[5] Este es un paso cónico a través de los vértices del triángulo. Su perspector es el punto S (-1,1,1). Las tangentes en los vértices se pueden calcular, utilizando argumentos generales, a partir de su relación con el perspector. También se calculan fácilmente directamente a partir de la ecuación: en A (1,0,0) la tangente es y + z = 0, en B (0,1,0) es xz = 0 y en C (0,0,1) ) es xy = 0. De ello se deduce, calculando el punto en el infinito del primero, que es paralelo a BC (x = 0). Las otras dos tangentes pasan obviamente a través del punto D, que luego se considera el polo de la línea BC con respecto a la cónica. 
[6] Más general, la matriz del ser cónico. 

su tangente en (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) es (y ₀ + z ₀ ) x + (x ₀ -z ₀ ) y + (x ₀ -y ₀ ) z = 0. En el punto P correspondiente a X (s, t, 0) la tangente es t ² x-s ² y- (st) ² z = 0 y su punto de intersección con la línea XD satisface y + z = 0, por lo tanto, es un punto Z en la tangente de la cónica en A. 
[7] Sustituyendo en la ecuación x + y + z = 0 de la línea en el infinito, la expresión paramétrica de la curva dada en [4], encontramos que t / s satisface la cuadrática x ²+ x-1 = 0, que tiene dos raíces reales. Por lo tanto, la cónica, que cruza la línea en el infinito en dos puntos distintos, es una hipérbola. 
[8] Tome r ₁ , r ₂ como las raíces de la cuadrática anterior y calcule las tangentes en los puntos en el infinito (asíntotas) de la curva. Su punto de intersección O (centro de la cónica) resulta ser (3,1,1). Así está en AK, que se describe por yz = 0. Además, de sus coordenadas se desprende que OA / OK = 2/3. 
[9] AK tiene la ecuación yz = 0 y su intersección con la cónica es (1,2,2). Por lo tanto, Q es el punto en AK cuya distancia d _A C desde AC es d _A C = 2QK. Se ve fácilmente que QK = AK / 5.
[10] Dado que la transformación (x, y, z) -> (x, z, y) deja el invariante cónico, es simétrica con respecto a la mediana de AK. 
[11] Al considerar el cuadrilátero completo de los cuatro puntos {X, Y, B, C}, se verifica que el punto de intersección P 'de BC con AP es el polo de la línea XY con respecto a la cónica. 
[12] La generación cónica a través del punto de intersección P, estudiada aquí, es un ejemplo de la definición de Chasles-Steiner de una cónica (consulte Chasles_Steiner.html). Los dos paquetes de líneas son L (B) y L (C) (L (X) que denotan todas las líneas a través de X). La relación homográfica entre las líneas de los dos paquetes se establece mediante la intersección de AB, AC con una línea XY que pasa por el punto fijo D. La relación homográfica corresponde a la línea BY de L (B), línea CX de L (C). 
[13] Los puntos {D, S} son conjugados armónicos a {A, K}. 
[14] La cónica simple discutida aquí puede usarse para generar cónicas con propiedades análogas para triángulos arbitrarios. Esto se discute en ConicsMaclaurin2.html .

 La generación de cónicas de Maclaurin.

Considere un triángulo ABC y un punto D que no se encuentra en sus líneas laterales. Dibuje a través de D una línea arbitraria que cruza los lados AB, AC en los puntos X, Y respectivamente. El lugar geométrico del punto de intersección P de las líneas BY, AX es una cónica con las siguientes propiedades: 
[1] La cónica pasa a través de los vértices del triángulo. 
[2] Su perspector es el conjugado armónico S de D con respecto a {A, K}, siendo K la intersección de AD con BC. 
[3] Las tangentes a la cónica en {B, C} pasan a través de D. La línea BC es la polar de D con respecto a la cónica. 
[4] Las tangentes a la cónica en A y Q, siendo Q la intersección de AD con la cónica, se encuentran en un punto en BC. 
[5] La tangente a la cónica en P y la línea XY se encuentran en un punto de la tangente a la cónica en A.

Los resultados pueden ser probados directamente. También son consecuencias de la discusión del ejemplo específico, que consiste en el equilátero y su centroide D. Para el triángulo general y la ubicación arbitraria de D, se puede definir la proyectividad que mapea los vértices del equilátero con los vértices del triángulo y el centroide. del equilátero a D. Todas las propiedades mencionadas anteriormente corresponden a las propiedades que se muestran en este ejemplo en particular (consulte ConicsMaclaurin.html ) y se transfieren a ABC a través de la proyectividad. 

Observación-1 Note que el punto de fijación S y tomando como D sus asociados armónicos {S _A , S _B , S _C } (vea TriangleConics.html) crea la misma cónica, ya que en todos estos casos el perspector es S. 
Observación-2 Hay un procedimiento inverso a esta construcción cónica en la que partimos de la cónica y un triángulo arbitrario ABC inscrito en esta cónica. Luego, para cada punto P en la cónica, dibujamos las líneas {PB, PC} y definimos sus puntos de intersección {Y, X} con las líneas {AC, AB} correspondientes. Todas las líneas XY pasan luego a través de un punto fijo D, que es el conjugado armónico D del perspector S de la cónica con respecto a {A, K}. El punto D es también el polar de la línea BC con respecto a la cónica. Una consecuencia de esto se discute en ConicsMaclaurin3.html . 
Observación-3Esta forma de construir la cónica, a través de las intersecciones de pares de líneas de los haces de líneas L (B), L (C) (L (X) que denota el conjunto de líneas que pasan por X) podría considerarse como una forma canónica para generar el cónica a través de la receta de Chasles-Steiner (por lo tanto, la palabra canónica ). La homografía entre los dos paquetes de líneas necesarios para tal generación se define a través del punto D, mediante la asignación de CX a BY. Usando coordenadas de línea para AB, AC, la relación de Y (y) a X (x) se describe mediante una homografía, es decir, una relación de la forma y = (ax + b) / (cx + d).

 2. El caso de los paralelos.

Con las configuraciones anteriores y el caso en el que el punto [D] está en el infinito, los lados del triángulo ABC se intersectan con líneas paralelas (que pasan por [D]) que intersectan los lados AB, AC en los puntos X, Y, respectivamente. El lugar geométrico del punto de intersección P de las líneas BY, AX es nuevamente un cono con las siguientes propiedades: 
[1] El cono pasa a través de los vértices del triángulo. 
[2] Su perspector es la S central de AK, siendo K la intersección del paralelo a [D] desde A con BC. 
[3] Las tangentes a la cónica en {B, C} son paralelas a [D] (pase a través de [D]). De ahí que la cónica sea degenerada o central (no parábolas).
[4] La línea BC es la polar de [D] con respecto a la cónica. Esto significa que BC es un diámetro de la cónica, el centro M de BC es el centro de la cónica. Por lo tanto, la cónica pasa también a través de la simetría de A con respecto a M. 
[5] Las tangentes a la cónica en A y Q, siendo Q la intersección de AD con la cónica, se encuentran en un punto en BC. De hecho, BC es el diámetro del conjugado al diámetro de la cónica que es paralelo a [D]. Así, AK encuentra la cónica en Q, que es simétrica a A con respecto a A. 
[6] La tangente a la cónica en P y la línea XY se encuentran en un punto en la tangente a la cónica en A.
[7] Todas las cónicas construidas de esta manera coinciden con cónicas de cinco puntos (cónicas que pasan por cinco puntos), siendo los cuatro puntos {A, B, C, A '} y el quinto es un punto arbitrario Q en el paralelo a AC desde A '.

Nada que probar aquí, ya que los resultados son casos especiales del teorema anterior. Un caso especial de tal cónica es aquel en el que la dirección [D] coincide con la dirección antiparalela a BC. Esto se estudia en AntiparallelHyperbola.html .

 3. Aplicación a los cuadriláteros.

Considere el conjunto S de todos los cuadrángulos ABCD con ángulos dados en sus vértices {A, B, C, D}. Existe, hasta la similitud, exactamente un cuadrángulo en S, de modo que la CA diagonal biseca la otra BD diagonal.

De hecho, fije el lado BC del cuadrángulo y considere las líneas BA, CD en las direcciones de los ángulos dados en B y C de manera correspondiente. Los diversos cuadrantes posibles que tienen los ángulos dados resultan de la intersección de las líneas {BA, BD} con líneas paralelas a una dirección dada (e). Las intersecciones de las diagonales de estos cuadrángulos se mueven a lo largo de una cónica (c), construida como en el párrafo anterior. Las middles de diagonales AC se mueven a lo largo de una línea (f) que pasa a través de la M media de BC, que es también el centro de la cónica (c). Los cuadrángulos deseados serán tales que su intersección de diagonales coinicides con uno de los dos puntos de intersección {H ₁ , H ₂ } de la cónica (c) con la línea (f). Ya que M es el medio de H ₁ H ₂, solo uno de los cuadriláteros satisfará la condición en ángulos, mientras que el otro tendrá ángulos complementarios a los dados.