GEOMETRÍA DINÁMICA

Cónica que pasa por el origen.

Aquí estoy interesado en un término cónico con constante de desaparición (c = 0 en Conic_Equation.html ): 
(1) f (x, y) = ax ² + 2hxy + by ² + 2gx + 2fy = 0. 
Esto permite que la cónica Ser escrito como un miembro de la familia generado por pares de líneas. Por ejemplo, al factorizar x, donde aparece: 
(2) m (x, y) = x * (ax + 2hy + 2g), 
y hacer lo mismo con los términos restantes que involucran y: 
(3) n (x, y) = y * (por + 2f). 
La familia a la que pertenece f (x, y) = 0 como miembro se determina mediante la combinación de estos productos:
(4) m (x, y) + r * n (x, y) = 0, con r arbitraria. 
La primera cónica degenerada m (x, y) = 0 es el producto de dos líneas: el eje y (x = 0) y la línea ax + 2hy + 2g = 0 que intersectan el eje y en y = -g / h . La segunda cónica degenerada (x, y) = 0 consta de dos líneas paralelas: el eje x (y = 0) y el paralelo a ella por + 2f = 0 o y = -2f / b. La cónica dada se determina tomando r = 1, es decir, al encontrar un punto (x, y) para el cual m (x, y), n (x, y) tienen valores opuestos. Esto parece ser más fácil que resolver la ecuación, pero de hecho es equivalente a ella. El truco funciona cuando hay un punto obvio (x ₀ , y ₀ ) que satisface la ecuación y es diferente de los cuatro puntos de intersección de las líneas.

La figura muestra varios miembros de la familia, pero no indica dónde encontrar un punto que se encuentra en la cónica dada, es decir, que 
satisface f (x, y) = 0. De todos modos, el análisis muestra que la determinación de la cónica se reduce mediante este procedimiento para encontrar un solo punto (x ₀ , y ₀ ) que satisfaga la ecuación de la cónica. Sin embargo, la situación no es tan mala como parece. De hecho, considere una línea a través del origen y = kx e intente encontrar un segundo punto de intersección de la cónica dada (diferente de O) en ella. 
Reemplazando esto en la ecuación y simplificando obtenemos: 
             f (x, kx) = ax ² + 2hkx ² + bk ² x ²+ 2gx + 2fkx = 0 => ax + 2hkx + bk ² x + 2g + 2fk = 0, lo que implica: 
(5) x = - [2g + 2fk] / [bk ² + 2hk + a]. 
Esto no es más que la parametrización racional de la cónica que proporciona el quinto punto deseado (x, kx). 
La única restricción es elegir k para que sea diferente de las raíces del denominador, que son precisamente (consulte Conic_Equation.html ) las direcciones de las asíntotas de la cónica. Por lo tanto, seleccionando un conveniente k obtenemos fácilmente en nuestro quinto punto. Los casos excepcionales para los cuales a = 0 o b = 0 se tratan en Conic_Passing_Origin2.html yConic_Passing_Origin3.html . El ejemplo genérico que implementa todo el procedimiento dibujando la cónica concreta (genérica) se encuentra en Conic_Instrument.html .

Cónicas en coordenadas homogéneas.

Esta es una secuela de ProjectiveCoordinates.html que maneja la descripción de las cónicas en un sistema de coordenadas homogéneo
o proyectivo . Los sistemas de coordenadas proyectivas se utilizan para representar curvas algebraicas. 
En líneas particulares, definidas por ecuaciones homogéneas de grado 1: 
                                                        ax ₁ + bx ₂ + cx ₃ = 0, 
y cónicas, definidas por ecuaciones homogéneas de grado dos: 
(0) ax ₁ ²   + bx ₂ ² + cx ₃ ² + 2dx ₁ x ₂+ 2ex ₂ x ₃ + 2fx ₃ x ₁ = 0.

Si la cónica pasa a través de los puntos básicos del sistema, entonces {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} debe satisfacer 
la ecuación. Esto implica a = b = c = 0, por lo tanto, la ecuación obtiene la forma: 
(1) dx ₁ x ₂ + ex ₂ x ₃ + fx ₃ x ₁ = 0. 
Si además la cónica pasa a través del cuarto punto (unidad) D calibrando el sistema de coordenadas, 
entonces los coeficientes deben satisfacer: 
(2) d + e + f = 0. 
Reemplazando f = - (d + e) ​​en la ecuación, encontramos que la cónica está representada por una ecuación de la forma:
(3) dx ₁ (x ₂ - x ₃ ) + ex ₃ (x ₂ - x ₁ ) = 0. 
Esto significa que cada paso cónico a través de los cuatro puntos se da como una combinación lineal de las dos 
cónicas reducibles (es decir, cónicas que se puede dividir en un producto de líneas): 
(4) x ₁ (x ₂ - x ₃ ) = 0, y x ₃ (x ₂ - x ₁ ) = 0. 
El primero representa la cónica degenerada que es el producto de dos líneas:
(5) BC (x ₁ = 0) y AD (x ₂ - x ₃ = 0). 
El segundo representa de manera similar la cónica que es el producto de: 
(6) AB (x ₃ = 0) y CD (x ₂ - x ₁ = 0). 
Observe que (d, e) se definen en módulo una constante multiplicativa distinta de cero, de modo que determinan un 
lápiz de un parámetro o una familia de cónicas. Esto implica que un quinto punto E determina completamente el 
paso cónico a través de los cinco puntos {A, B, C, D, E}.

 2. Cónicas bitangentes, equivalencia proyectiva.

Otro caso interesante es que la cónica pasa a través de dos puntos B, C y tiene 
tangentes que se intersecan en un punto A. Al seleccionar un sistema de coordenadas como se muestra, tenemos: 
(i) B, C sobre la cónica ==> b = c = 0. 
(ii) AC resp. AB tangente en C resp. B ==> d = 0 resp. e = 0, 
ver el comentario en la última sección. 
Así, la cónica se reduce a la forma: 
(7) ax ₁ ² + fx ₂ x ₃ = 0. 
Por lo tanto, pertenece al llamado lápiz bitangente o familia de cónicas, representado 
por combinaciones lineales de dos cónicas degeneradas. La primera cónica consiste en el producto de líneas:
(8) x ₂ x ₃ = 0 (representando las líneas AB y AC). 
La segunda cónica consiste en la línea doble : 
(9) x ₁ ² = 0 (representando a BC en el producto consigo mismo). 
En particular, si D pertenece a la cónica, entonces a + f = 0, y la cónica está representada por: 
(10) x ₁ ² = x ₂ x ₃ . 
Esto muestra que todas las cónicas no degeneradas del plano proyectivo son equivalentes .
Esto se debe a que para cada una de estas cónicas podemos seleccionar un sistema de coordenadas que representan la cónica a 
través de una ecuación como la que se encuentra en (10). 
La transformación de coordenadas proyectivas que coincide con dos de estos sistemas de coordenadas, 
coincide también con las cónicas correspondientes expresadas en forma de (10).

 3. Triángulo auto polar de referencia.

Otro caso interesante es el de la cónica se refirió a una auto-polar triángulo ABC. 
Esto significa que cada vértice es el polo del lado opuesto con respecto a esa cónica. 
Tomando una base proyectiva {A, B, C, D} como se muestra (ver ProjectiveBasis.html ), el polar de A es BC, 
implica d = f = 0. Del mismo modo, el polar de B es AC implica d = e = 0. Por lo tanto, la cónica tiene la forma: 
(11) ax ₁ ² + bx ₂ ² + cx ₃ ² = 0. 

Observación
El argumento aplicado aquí es que la cónica está dada por una ecuación de la forma (matriz):

El polar de un punto (u ₁ , u ₂ , u ₃ ) viene dado por la ecuación:

Por lo tanto, si BC (x ₁ = 0) es el polar de A (1,0,0) que es ax ₁ + dx ₂ + fx ₃ = 0, debemos tener d = f = 
0. Se han aplicado argumentos análogos a el caso de la cónica bitangente, para reducirlo a la 
forma x ₁ ² = x ₂ x ₃ . 
La representación del polar de esta manera se demuestra para el caso de coordenadas cartesianas en el archivo 
Conic_Equation.html . La prueba para el caso de coordenadas homogéneas es esencialmente la misma.

Líneas de envolvente cónicas.

Sea c = (AB) un círculo fijo, F un punto fijo y h = (CDE) un ángulo fijo. Sea G un punto de movimiento en el círculo y H un punto que divide el segmento FG en partes que tienen una relación de longitud fija k. Dibuje el ángulo i = (FHI) igual a (CDE). La envolvente de la línea HI es una sección cónica, dependiendo de la posición de H en FG y el ángulo (CDE). Esto generaliza el hecho bien conocido para el caso donde HI es la línea media de FG.

<- -="" scheme-start=""> 
<- -="" tool=""> Seleccione la herramienta Círculo: (11º botón). 
Haga clic en A, arrastre ..., suelte en B, para definir el círculo c, con el centro en A, pasando por B. 
<- -="" herramienta=""> Seleccione la herramienta de punto: (3er botón), (Atajo: Ctrl + E). 
Haga clic en F para definir un punto allí. 
<- -="" herramienta=""> Seleccione la herramienta Ángulo: (7º botón), (Atajo: Ctrl + Alt + A). 
Haga clic en C, arrastre ..., suelte en D. Haga clic nuevamente en E, para definir el ángulo h = ángulo (CDE). 
<- -="" herramienta=""> Seleccione la herramienta Punto: (3er botón), (Atajo: Ctrl + E). 
Haga clic al lado del contorno del círculo c, manteniendo presionada la tecla MAYÚS, para establecer un punto G en el contorno del círculo c. 
<- -="" herramienta=""> Seleccione la herramienta Segmentar: (Botón quinto), (Acceso directo: Ctrl + Alt + S). 
Haga clic en F, arrastre ..., suelte en el punto G, para definir el segmento e = FG. 
<- -="" herramienta=""> Seleccione la herramienta Punto: (3er botón), (Atajo: Ctrl + E). 
Haga clic al lado del contorno del segmento e, manteniendo presionada la tecla MAYÚS, para establecer un punto H en el contorno del segmento e. 
<- -="" herramienta=""> Seleccione la herramienta de ángulo de brújulas: (7º botón / 2º elemento de menú), (Atajo: Ctrl + Mayús + A). 
Haga clic en D del ángulo h, para obtener su ángulo. Luego haga clic en H y F para transferir el ángulo de modo que su primer lado sea HF. 
<- -="" herramienta=""> Seleccione la herramienta de línea: (6to botón), (Atajo: Ctrl + L). 
Haga clic en H, arrastre ..., suelte en el punto I, para definir la línea j = HI. 
<- -="" herramienta=""> Seleccione la herramienta Sobre: ​​(14to botón / 2do elemento de menú), (Atajo: Ctrl + 4). 
Haga clic en el punto G. Luego haga clic en la línea j, para encontrar el sobre de esta línea a medida que el punto G se mueve en el círculo c. 
<- -="" scheme-end=""> 

La descripción anterior se produce automáticamente al seleccionar la herramienta [Describe esquemas] (primer botón / sexto elemento de menú).