GEOMETRÍA DINÁMICA

Locus de perspectores

Sea (c) una cónica y ABC un triángulo inscrito en ella. Sea D el polo del lado BC y {X, Y} los puntos de intersección de una línea a través de D y los lados {AB, AC} correspondientes. El punto de intersección P de las líneas {BX, CY} describe la cónica (c). Esta generación de la cónica se describe en ConicsMaclaurin2.html . 
Aquí hay un comentario adicional sobre las diversas posiciones de A en la cónica. Para todos estos triángulos ABC (que tienen la variable A en (c) y B, C fija en (c)) el perspector correspondiente de la cónica es el punto S, conjugado armónico a D con respecto a (A, G), siendo G la intersección Punto de AD con BC.
Cambiando la posición de A en (c) (pero manteniendo la base BC) los perspectores correspondientes de la cónica con respecto al triángulo ABC se encuentran en una cónica (c ') que pertenece a la familia bitangente generada por (c) y la línea BC. 
De hecho, se ve fácilmente que la cónica es la imagen de la proyectividad F, que corrige los puntos {B, C, D} y mapea D 'a E. Aquí D' denota la reflexión de D con respecto a BC y E es tal que D'E: EK = 2.

Cónicas tangentes e intersecantes.

Considere dos cónicas {c ₁ , c ₂ } que tienen una tangente común en un punto A y que también se intersecan en dos puntos {B, C}. Luego, para cada línea a través de A que interseca los cónicos en {F ₁ , F ₂}, las tangentes en estos puntos se intersecan en un punto H en la línea BC.

Sea D el punto de intersección de la tangente común (m) con la línea BC. Utilizo una base proyectiva que consiste en {A, B, C, K}, siendo K algún punto en el conjugado armónico de la línea AD con respecto al par de líneas {AB, AC}. Esto simplifica algunos cálculos hechos a continuación. 
En este sistema (ver ProjectiveBase.html ) los puntos {A, B, C, K} tienen coordenadas correspondientes {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1, 1,1)}. 
El punto de intersección D 'de AK con BC tiene en este sistema la representación D' = B + C y D = BC. 
Luego, la línea m = AD se describe mediante la ecuación: y + z = 0 y la línea m '= AD' mediante la ecuación y - z = 0. Las 

cónicas c ₁ y c ₂ pertenecen a la familia generada por las dos cónicas degeneradas que consisten en pares de líneas:
c: yz = 0 (líneas AC, AB) y c ': x (y + z) = 0 (líneas BC, m). 
El c cónica general _t de esta familia es determinada por un parámetro (t) en: 
c _t : yz + tx 0 => yz + txz + TXY = 0. (y + z) = 

Sea E un punto en la línea BC: E = B + kC. El segundo punto de intersección F de c _t con la línea AE: F = A + pE se determina introduciendo F en la ecuación cónica. Posteriormente, escrito en forma cuadrática con la matriz M:

c (F, F) = 0 => c (A + pE, A + PE) = 0 => 2pc (A, E) + p ² c (E, E) = 0 => p = 2C (A, E) / c (E, E). 
Este reemplazo de E = B + kC y hacer las multiplicaciones matriciales implica 
p = -2c (A, B + kC) / c (B + kC, B + kC) = -c (A, B + kC) / (kc (B , C)) = -t (1 + k) / k. 
En el otro lado, la tangente de la cónica en F está dada por la ecuación c (F, X) = 0. 
Su punto de intersección con la línea BC se encuentra al reemplazar H = B + rC en la última ecuación: 
c (F, B + rC ) = 0 => c (A + pE, B + rC) = 0 => c (A + p (B + kC), B + rC) = 0 => c (A, B) + rc (A, C) ) + pkc ​​(C, B) + rpc (B, C) = 0. 
Introduciendo los valores de la matriz obtenemos: 
t + rt + pr + pk = 0 => r = - (pk + t) / (p + t) = -k ² . 
Esto muestra que el punto de intersección H = B + rC en BC es independiente del miembro en particular c_T de la familia cónica de ahí lo mismo para todos. 
Observación La figura muestra también el triángulo cónico _K con perspector K que pertenece a la familia considerada de cónicas. Se obtiene para t = 1. Una secuela de esto es la discusión sobre un cúbico nodal relacionado en CubicFromTwoConics.html .

 Cónica-arco definida a través de una curva racional de Bezier.

Curva de grado 2, determinada por 3 puntos de control A, B, C, utilizando los polinomios de Bernstein B _{n, i} (x) y 3 números adicionales (positivos) w ₁ , w ₂ , w ₃ , llamados pesos . La curva se define mediante la ecuación: 
c (t) = (1 / BS (x)) * (B _2,0 (x) * w ₁ * A + B _2,1 (x) * w ₂ * B + B _2,2 (x) * w ₃ * C), 
donde la función BS (x) = B _2,0 (x) * w ₁ + B _2,1 (x) * w ₂ + B _2,2 (x) * w ₃ .
Aquí la curva se construye utilizando un pequeño script (EUC_Scripts \ EUC_Curves \ ConicThroughRationalBezier.txt). El parámetro t varía en el intervalo [0,1]. 
Los puntos D ₁ , D ₂ , D ₃ en el arco de Bézier son puntos auxiliares que, además de A y C, definen cinco puntos a través de los cuales pasamos una cónica. Cada cónica se puede describir de esta manera. La modificación de los puntos de control A, B, C no cambia el tipo de cónica, mientras que al cambiar los pesos w _i obtenemos varios tipos de cónicas. El número entero nPts proporciona el número de puntos de interpolación utilizados para dibujar el arco Bezier.