GEOMETRÍA DINÁMICA

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Miembro de la hipérbola rectangular

Para construir el miembro de hipérbola rectangular de la familia de cónicas bitangentes yz-kx ² = 0, definido a través de los lados del triángulo ABC (x = 0 correspondiente a BC, y = 0 a CA y z = 0 a AB).

[1] Por la teoría general, sabemos que, dado que AB, AC son tangentes a la cónica, que AM debe ser un diámetro del conjugado cónico a BC, siendo M la mitad de BC. Por lo tanto, el centro de la cónica se encuentra en la línea media AM. 
[2] Las direcciones de las asíntotas son inmediatamente construibles a partir de los datos. Esto porque definen un triángulo rectángulo simétrico alrededor de la M media de BC. 
[3] Para encontrar estas direcciones, toma un punto arbitrario D en BC y puntos E, G, de modo que ME = MG = MD como se muestra. El triángulo así construido DEG tiene un ángulo recto en G y sus lados son paralelos a las asíntotas de la hipérbola. Todos los triángulos rectángulos construibles de esta manera son pareados similares.
[4] Extiende los lados ortogonales del triángulo construido para cortar uno de los dos lados de ABC tangente a la hipérbola en construcción. Por lo tanto, crear triángulo HGI. Todos los triángulos construidos de esta manera son por pares similares, por lo tanto, la dirección de su mediana GK desde G también está determinada por uno de ellos. 
[5] Conociendo el centro O y los asintóticos, considere sus intersecciones L, N con lado AC. El triángulo OLN es uno asintótico de la hipérbola. 
[6] Dado que todos los triángulos asintóticos tienen la misma área y los ejes son conocidos (bisecta las asíntotas en este caso), construye el triángulo asintótico OPQ como isósceles en ángulo recto con un área determinada.
El vértice de la hipérbola está en la X central de PQ, y esto completa la determinación de la hipérbola, en términos de los datos del triángulo. 

Miembro de la hipérbola rectangular

Esta es una continuación de la discusión iniciada en BitangentRectangularMember.html . Aquí hay algunos comentarios sobre la ubicación del centro de la hipérbola rectangular que es tangente a los lados {AB, AC} del triángulo ABC en los vértices {B, C} correspondientes. 
[1] El centro O de la hipérbola es la proyección del ortocentro H en la AA media de ABC. 
[2] Los puntos de intersección {B ₂ , C ₂ } de la hipérbola con el círculo en el diámetro BC son simétricos con respecto al centro de la hipérbola. 
[3] Los otros puntos de intersección {B ₃ , C ₃ } de la hipérbola con el circuncírculo son colineales con H ', el centro de AH. Además de las líneas B ₂ C₂ y B ₃ C ₃ son paralelos.

[1] se desprende de la discusión en la referencia mencionada. Allí vimos que, para determinar O, construimos un triángulo rectángulo similar a BCQ, siendo Q el punto de intersección del círculo con diámetro BC con la AA 'mediana. Luego formamos los triángulos en ángulo recto con los otros lados del triángulo {BQB ₁ , CQC ₁ } y encontramos las direcciones {B ₀ Q, C ₀ Q}. O se encuentra en la mediana AA 'dibujando paralelos a esas direcciones de B y C. La búsqueda de ángulos muestra que: BOC = (pi / 2) + phi + psi = (3pi / 2) -B ₁ -C ₁ = (3pi / 2) - (pi / 2 + A) = pi-A. Pero este es el ángulo por el cual H está viendo el lado BC, de ahí el resultado. 
[2] se desprende de las observaciones hechas enRectHypeParaChords.html , según el cual, los otros puntos de intersección {B ', C'} de la hipérbola con todos los círculos que pasan por {B, C} definen líneas paralelas a una dirección fija L ₁ , que está conjugada a la dirección L ₂ , ortogonal a BC. Por lo tanto, todos los medios de los acordes B'C '(como B ₂ C ₂ , B ₃ C _3, etc.) están en la línea L ₂ , ortogonales a BC y pasan a través de O. 
Tomando C ₂ como uno de los puntos de intersección de Círculo con diámetro BC, el triángulo BCC ₂ está en ángulo recto, su ortocentro coincide con C ₂ y la simétrica a OB ₂Es el otro punto de intersección con ese círculo. Esto prueba [2] y determina la línea L ₁ . 
Para ver [3], considere el triángulo BCC ₃ , donde C ₃ es un punto de intersección del circuncírculo con la hipérbola. El ortocentro H ₀ de este triángulo también se encuentra en la hipérbola y la cuerda C ₃ H ₀ está biseccionada en H ₁ por L ₁ (su diámetro conjugado). Sea ahora B ₃ el otro punto de intersección con el circuncírculo y M la mitad de B ₃ C ₃ . La línea H ₁ M, se une a los medios y es paralela a B ₃ H ₀que tiene O por su medio. Por lo tanto H'H = C ₃ H ₀ /2 = DA', siendo D el circuncentro (bei propiedad bien conocida de la ortocentro, ver Fe Euler.html ). Dado que también DA '= AH / 2 la prueba está completa. 
Tenga en cuenta que AA ₀ , A ₀ es un punto de intersección del circuncírculo con la línea L ₂ , es paralelo e igual a HO. Esto puede ser visto por un argumento similar al anterior. 

Observación Estas propiedades implican una construcción de la hipérbola a través de cinco, de los seis puntos {B, C, B ₂ , C ₂ , B ₃ , C ₃ } fácilmente construibles.

Aplicación del teorema de Bolzano Weierstrass.

Aquí consideramos el subconjunto de puntos de [0, a] x [0, a], de la forma: 
S = {(tn * a, beta * tm * a), para t real, m, n enteros} Aplique la Teorema de Bolzano-Weierstrass para probar, que si el beta es irracional , entonces los puntos de S son densos en la plaza. 
Esto significa que, dado (t ₀ , t ₁ ) en este cuadrado y e> 0, se puede encontrar (t, m, n), t: real ym, n: enteros, de modo que ambas desigualdades contengan: | tt ₀ - a * m | ₁ -a * n | 

Al reemplazar t = t ₀ + a * m en la segunda desigualdad, basta con demostrar que existe un triple (t, m, n) tal que | beta * (t ₀ + a * m) -t ₁ -a * n | Equivalentemente a * | (beta * t ₀ -t ₁ ) / a + beta * mn | 
Al configurar t ₂ = (beta * t ₀ -t ₁ ) / a, esto equivale a mostrar que para cualquier t ₂ real en el intervalo [0,1], hay m, n tal que | t ₂ + beta * mn | 

Esto se puede probar aplicando el teorema de Bolzano-Weierstrass en el conjunto T de puntos del intervalo I = [0,1], de la forma: 
T = {t ₂+ beta * mn, con enteros variables m, n}. Tenga en cuenta que T no está vacío, ya que para cada elección de m, el número real t ₂ + beta * m tiene, para general m, una parte fraccional u y una parte entera v. Por lo tanto, tomando n = v obtenemos un número en T. Además, dos números de T no pueden ser iguales, ya que esto implicaría: beta * mn = beta * m'-n '==> beta = (n-n') / (m-m '), y beta Ser un número racional. 

Por lo tanto, T es un conjunto infinito de I, y por el término mencionado anteriormente tiene una secuencia {s _i } que converge en algún punto s ₀ de [0,1]. Al aplicar el criterio de Cauchy , podemos encontrar i, j tal que | s _i -s _j | 
Considerando la forma de los elementos de T, podemos asumir que d = s _i-s _j = beta * mn, con 0 Divida entonces [0,1] en intervalos de longitud d y busque el lugar de t ₂ dentro de estos subintervalos de longitud d. Ciertamente, t ₂ está contenido en algunos de ellos, es decir, hay un entero k, tal que k * d <= t ₂ <(k + 1) * d. Por lo tanto | t ₂ -k * d | Pero k * d = beta * k * m- k * n = beta * m '- n' tiene la forma requerida y hemos encontrado m ', n' tal que | t ₂ - beta * m '- n' | 

Teorema de Bolzano-Weierstrass: Cada conjunto acotado en un espacio euclidiano tiene un punto de acumulación. 
Cauchy-Criterium: si una secuencia {s _i } converge, entonces para cada e> 0 hay un entero N,_i - s _j | 
La figura anterior ilustra la afirmación probada. La línea definida paramétricamente por t * (1, beta), cuando intercepta el límite del cuadrado en un punto (a, x) o (x, a), se continúa en la misma dirección desde el punto que está en el lado opuesto es decir, de (0, x) o (x, 0). Al repetir este procedimiento, creamos la imagen anterior que representa una parte del conjunto S. Si la versión beta es irracional y continuamos dibujando, las líneas verdes cubrirán toda el área del cuadrado. 
Tenga en cuenta que un argumento similar demuestra que para un ángulo w, con w / pi irracional los múltiplos n * w definen un conjunto denso en el círculo unitario.