GEOMETRÍA DINÁMICA

REEDIRIGIDA POR LA WEB : http://users.math.uoc.gr

 Teorema de Braikenridge

Si un polígono con n lados está restringido para tener todos sus vértices en líneas fijas y n-1 de sus lados pasan a través de los puntos fijos n-1 correspondientes, entonces su lado libre envuelve una cónica. 
Esta es una generalización de la inversa del teorema de Maclaurin (ver Maclaurin.html ). 
En la siguiente figura se ilustra en el caso de un cuadrángulo ABCD. Los cuatro vértices del cuadrángulo se mueven de manera correspondiente en cuatro líneas fijas. También los lados {AB, BC, CD} pasan correspondientemente desde cuatro puntos fijos {P, Q, R}. Entonces el lado libre DA envuelve una cónica.

La prueba del teorema es una combinación de la generación de cónicas de Chasles-Steiner y la propiedad del grupo de las transformaciones de Moebius. 
De hecho, la correspondencia F _P : A-> B se describe en coordenadas de línea de las líneas correspondientes a través de una transformación de Moebius. 
                                                          b = (k ₁ a + l ₁ ) / (m ₁ a + n ₁ ). 
Análogamente se describen mediante las correspondientes transformaciones de Moebius los mapas F _Q : B-> C y F _R : C-> D. 
Luego, los puntos {A, D} de la línea libre del cuadrángulo están relacionados por el mapa de composición.
                                                 F: A-> D, con F = F _R * F _Q * F _P   (* que denota la composición). 
Esto es de nuevo una transformación de Moebius y el teorema se basa, según se afirma, en el argumento de Chasles-Steiner (ver Chasles_Steiner.html ). 
Obviamente la prueba generaliza a n-gons arbitrarios.

Teorema de Brianchon

En cada circunscriptible en un hexágono circular, las diagonales, uniendo vértices opuestos, pasan a través de un punto común O.

Para demostrarlo, tome una longitud arbitraria (MN) y colóquela en las tangentes que comienzan desde los puntos de contacto: PL = RJ = QH = MN, etc. Dibuje círculos a, b, c tangentes a lados opuestos del hexágono en los puntos creados ( H, W), (J, V) y (L, Y) respectivamente. Uno ve fácilmente que las líneas concurrentes coinciden con los ejes radiales ab, bc, ca retrospectivamente, de los tres círculos tomados en pares. Así, O coincide con el centro radical de estos tres círculos. 

El teorema adopta formas particulares en el caso de pentágonos circunscriptibles, por ejemplo, cuando R y Q tienden a coincidir con F, un caso en el que AFE se transforma a la tangente en F. Luego, tomando una identificación similar adicional de los puntos T, C y U, obtener un teorema correspondiente para cuadriláteros. Estos casos particulares se examinan en Brianchon2.html .

Teorema de Brianchon para pentágonos circunscriptibles.

Para cada pentágono circunscriptible la línea (AL, mira [concurring-1]) uniendo un vértice al punto de contacto del lado opuesto y las dos diagonales (CE y DB) desde los puntos finales de ese lado hasta los vértices vecinos. el vértice inicial (A) se interseca en un punto (U).

 Teorema de Brianchon para cuadriláteros circunscriptibles.

Las diagonales y las líneas que unen los puntos de contacto opuestos, en un cuadrilátero circunscriptible a un círculo, pasan a través de un punto común O. La prueba se puede dar especializando el teorema de Brianchon, explicado en Brianchon.html . 
También hay otra prueba más elemental analizada en el documento: CircumscriptibleQuadrilateral.html , mientras que CircumscriptibleQuadrilateral2.html contiene una prueba alternativa y otras propiedades de esta figura. 
Los teoremas correspondientes son válidos también para hexágonos / pentágonos / cuadriláteros circunscriptibles a las cónicas: Brianchon3.html .