GEOMETRÍA DINÁMICA

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Parábola bisectora

Considere el excentre I del triángulo ABC (punto de intersección de la bisectriz interna en A y las bisectrices exteriores en B, C). Tomar un punto arbitrario F del lado BC y reflejarlo en las bisectores (exteriores) BI, CI para obtener los puntos G, H. 
[1] La suma de las longitudes firmadas (medidas desde A) de AG + AH es igual al perímetro s de abc. 
[2] el ángulo (GIH) = pi-A y el circuncírculo del triángulo AGH pasa a través de I. 
[3] Extienda los lados AB, AC al AED isósceles con una longitud de lados igual al perímetro s de ABC. Entonces AH es igual en longitud con GE. 
[4] La J central de GH se encuentra en la línea MN, uniéndose a los medios M, N de AE ​​y AD.
[5] La línea GH envuelve una parábola tocando los lados AB, AC en E y D. La parábola también toca MN en su K central, que es su vértice . El foco de la parábola es el punto I y su directriz es paralela a MN en la distancia p ( parámetro de la parábola) igual a s * sin ² (A / 2).

[1] Obvio ya que BG = BF = BC + CH. 
[2] ángulo (GIH) = ángulo (GIB) + ángulo (BIH) = ángulo (BIF) + ángulo (BIC) -angle (HIC) = ángulo (BIF) + ángulo (BIC) -angle (CIF) = ángulo ( BIC) + (ángulo (BIF) -angle (CIF)) = 2 * ángulo (BIC) = pi-A (ya que el ángulo (BIC) = (pi-A) / 2). 
[3] Por [1] GA + AH = sy lo mismo es cierto para AG + GE. 
[4] Sigue fácilmente desde [3]. Observe que M, N son los puntos de contacto con los lados del círculo centrados en I. Es una propiedad bien conocida que AM = AN = s / 2 (consulte Bisector1.html ). 
[5] Sigue de la propiedad característica de las tangentes a una parábola: La simetría de un punto I (enfoque) con respecto a las tangentes se encuentra en una línea (directriz). Todas las propiedades referidas siguen fácilmente de los comentarios anteriores. 
Observe la ubicación de laortocentro L del triángulo AGH en la directriz (ver TrianglesCircumscribingParabolas.html ), debido al hecho de que todos los lados de AGH son tangentes de la parábola. Por la misma razón, el circuncírculo de AGH atraviesa el foco I.

Propiedad de constancia de relación bisector de hiperbolas rectangulares

Considere un punto C arbitrario en una hipérbola rectangular (c) y únalo a dos puntos A, B de (c), wr simétrico al centro D de (c), para formar el triángulo ABC. Entonces las dos bisectrices u, v del ángulo C (interno y externo) del triángulo ABC son paralelas a las líneas asintóticas de la hipérbola. En particular, su relación u / v es constante e independiente de la posición de C en (c). Por lo tanto, tenemos otra caracterización de la hipérbola rectangular: 

dado un segmento fijo AB, el lugar geométrico de los puntos C, de manera que los triángulos ABC tienen la relación de la bisectriz interna a la externa en C igual a una constante k, es una hipérbola rectangular que pasa a través de los puntos A y B. Un caso particular de esta propiedad se discute en EqualBisectorsHyperbola.html .

De hecho, de la discusión en RectangularAsProp.html se desprende que el ángulo de las bisectas asintóticas (FED), E, ​​F, son las medias de los lados de ABC. Pero siendo EDF el triángulo medial de ABC, la bisectriz del ángulo D es paralela a la bisectriz del ángulo C de ABC. 

Observe que los ejes y las líneas asintóticas que pasan por la mitad de AB pueden construirse a partir de los datos del triángulo ABC. Entonces, el vértice I de la hipérbola se puede determinar a partir de un triángulo asintótico DD'D '' de la hipérbola cuya área e satisface e = DI ² . 
Para construir un triángulo asintótico del proyecto de hipérbola A sobre las asintóticas a A ', A' 'y llevar la simetría D', D '' de D wr a estos puntos. .

Recto bisector

Considere el triángulo ABC y su circuncírculo c. Para un punto A * que se mueve sobre c, construya el triángulo A * BC y las bisectrices AF y A * G de los dos triángulos. Considere entonces los círculos inscritos y escritos en los ángulos A y A *. Sus centros forman un rectángulo EFGH.

La prueba es consecuencia directa de la propiedad probada en Bisector.html . I es el punto de intersección de las dos bisectrices y coincide con la mitad del arco a. Los seis puntos B, F, G, C, H y E están equidistantes de I. Observe que el ángulo (FIG) es igual al ángulo B del triángulo. Por lo tanto, variando C en (c) el rectángulo EFGH cambia sus dimensiones pero permanece similar a sí mismo. 

Considerando los otros pares de triángulos, como (BCA, BCA *) en el cuadrángulo cíclico BCA *, se puede construir una figura interesante que contenga una cruz. Mire el archivo BisectorCross.html para una discusión adicional sobre esto.

Familias de cónicas bitangentes y sus homografías.

Discutimos la familia que consiste en cónicas definidas por la ecuación: v * w - k * u ² = 0. 
Aquí (u = 0) representa la línea VW, (v = 0) representa la línea UW y (w = 0) representa la línea UV . 
La familia, algunas veces llamada familia de cónicas bitangentes , consta de todas las cónicas tangentes a las líneas (v = 0, w = 0) en W, V de manera correspondiente. En cierto sentido, la presente discusión es una continuación de lo que comenzó en HomographyAxis.html . 
Entre los miembros de la familia hay una parábola c ₀ que puede construirse siguiendo la receta explicada en ParabolaSkew.html .
Los miembros de la familia de las cónicas son invariantes en las homografías (proyectividades) F que pueden definirse por las siguientes propiedades: 
(a) F fija los puntos U, V, W y 
(b) F mapea un punto arbitrario A de un miembro ( c) de la familia a un punto arbitrario A 'del mismo miembro. 
Para cada F definida de esta manera, hay una línea (g) que se correlaciona con el infinito por F. La línea es tangente a la parábola c ₀ , ya que F mapea esta línea a una tangente (en el infinito) a la parábola (la línea en el infinito ).

Observe que la línea (g) determina completamente la homografía F al determinar su acción en las líneas u = 0, v = 0, w = 0. De hecho, los puntos de intersección de (g) con estas líneas se asignan a través de F a los puntos correspondientes en el infinito de la línea, por lo tanto, en cada una de estas tres líneas conocemos la restricción de F. Esto se debe a que conocemos las imágenes bajo F de tres puntos (los dos puntos fijos en cada uno y el punto de mapeo al infinito). Esto es suficiente para la determinación de toda F, ya que encontrar F (X) para una X dada puede reducirse a intersecciones de línea y sus transformaciones con las tres líneas básicas (u = 0, v = 0, w = 0). Por lo tanto, los puntos B de la parábola, a través de la correspondiente tangente (g), parametrizan naturalmente el conjunto de homografías preservando cada miembro de la familia de cónicas v * w - k * u ² = 0.
Más es cierto: considere la línea e ₁ = BD paralela al eje parábola. Esto se asigna por F a una línea paralela e ₂ , simétrica a e ₁ con respecto al eje a través de U (paralelo al eje de la parábola que pasa a través de U). Para ver este aviso, el punto B se asigna a través de F al punto en el infinito de e ₁ . Tome también la relación cruzada (UVCG) que al aplicar F conserva su valor y se vuelve igual a (UF (C)) / (VF (C)), ya que G se asigna al infinito en la línea UV. Esto, configurando D = F (C), ((UC) / (VC)): ((UG) / (VG)) = (UD) / (VD). Pero de las propiedades elementales de las tangentes a las parábolas, tenemos que (VG) / (VC) = 1/2, por lo tanto (UC) / (UG) = 2 (UD) / (VD), de donde se deduce que D es simétrico a C con respecto a U. Esto prueba que e ₂, la imagen de e ₁ debajo de F es paralela a e ₁ . Por lo tanto, las homografías que preservan la familia de cónicas anterior están parametrizadas por pares ordenados de puntos isotómicos ((X, X ') diferentes de (U, V), (V, U)) a lo largo de la base VW del triángulo UVW. 
Después de esta discusión, queda claro que podríamos definir la homografía F por su propiedad para corregir U, V, W y el mapa X a X '. Obviamente, también el mapa de mapeo X 'a X es el inverso de F.