GEOMETRÍA DINÁMICA

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Teorema de Clifford-Cayley

Desde un punto D dentro del triángulo t = (ABC) dibuja paralelos a los lados. Transfiera isométricamente (sin reflexiones) los triángulos resultantes (DEF), (DHG) y (DIJ) a (D'E'F '), (D'H'G') y (D'I'J '), correspondientemente, de modo que sus vértices coincidan en D ', como lo hicieron en D. Construyen los paralelogramos desde sus lados: (A'I'D'G'), (B'E'D'G ') y (C'H'D 'F'). Entonces el triángulo t '= (A'B'C') siempre es similar a t.

En la figura anterior, los puntos K, L, M y D 'son puntos de control que se pueden mover libremente. 
Al cambiar sus lugares, accede a todas las ubicaciones posibles de los triángulos (D'E'F '), (D'H'G') y (D'I'J '), según lo requiere el teorema. Una copia exacta (rígida) del triángulo t '= (A'B'C') es el triángulo t '' = (A''B''C ''). Se muestran las medidas de los ángulos de los últimos. Al cambiar las posiciones de los puntos de control, verá que los ángulos permanecen constantes. 

El teorema también se conoce como [Teorema fundamental de 3-Bar Motion]. En esta formulación, los 15 segmentos que componen la figura se consideran como varillas (longitud fija), conectadas en las 10 juntas giratorias (puntos A, B, C, D, E, ...). 
Una discusión y prueba del teorema está contenida en [Ross Honsberger's, In Polya's Stepsteps, The Mathematical Assoc. de América, 1997, p. 129]. 

Líneas poligonales cerradas

Considere un círculo "c" y un conjunto de líneas cuyo número es impar. Numéralos 1, 2, ..., k (k impar). 
Comienza desde un punto arbitrario G del círculo y construye una línea poligonal con 2k + 1 vértices. 
G '---> 1' ---> 2 '---> 3' ---> .... ---> k '---> 1' '---> 2' '- -> ... ---> k ''. 
Donde (1 ') es el otro punto de intersección de c con el paralelo desde G hasta la línea (1). Entonces (2 ') es el otro punto de intersección de c con el paralelo de (1') a la línea (2), (3 ') es el otro punto de intersección de c con el paralelo de (2') a la línea (3) Al pasar dos veces por todas las líneas, creas una línea poligonal que regresa al punto de partida G.

La prueba es muy simple. Cada punto (por ejemplo, 1 ') está relacionado con el anterior (por ejemplo, G') por una reflexión en la línea a través del centro O del círculo, que es ortogonal al paralelo correspondiente (por ejemplo, 1). Por lo tanto, los puntos variables de la línea poligonal son los puntos de imagen sucesivos bajo estas reflexiones: r1, r2, ..., rk. es decir, para los primeros k vértices 
1 '= r1 (G'), 2 '= r2 (1'), ..., k '= rk ((k-1)'), es decir k '= f (G') , donde f = r1 * ... * rk es la composición de un número impar de reflexiones, cuyo eje pasa a través de O. Pero dicha composición es siempre una reflexión y, en consecuencia, f (f (G ')) = G'. El procedimiento para generar f (f (G ')) crea los vértices 2k de la línea poligonal.














Considere una elipse y un conjunto de líneas cuyo número sea impar. Numéralos 1, 2, ..., k (k impar). 
Comienza desde un punto arbitrario G de la elipse y construye una línea poligonal con 2k + 1 vértices. 
G '---> 1' ---> 2 '---> 3' ---> .... ---> k '---> 1' '---> 2' '- -> ... ---> k ''. 
Donde (1 ') es el otro punto de intersección de la elipse con el paralelo desde G hasta la línea (1). Entonces (2 ') es el otro punto de intersección de la elipse con el paralelo de (1') a la línea (2), (3 ') es el otro punto de intersección de la elipse con el paralelo de (2') a la línea ( 3) etc. Al pasar dos veces por todas las líneas, creas una línea poligonal que regresa al punto de partida G.

Parece complicado pero la prueba es fácil. Toma una homografía, transforma la elipse en un círculo y conserva la línea en el infinito. Tales homografías respetan los paralelos y la coincidencia de puntos, por lo que todo el problema se transforma en uno similar para un círculo. 

 Cuadrángulo completo

Esta es la figura formada por cuatro puntos A, B, C, D, no tres de los cuales son colineales. Estos puntos son los [vértices] del cuadrángulo completo. Las seis líneas formadas por pares de puntos se denominan [lados]. Los puntos de intersección E, F, G de los lados distintos de los cuatro vértices se denominan [puntos diagonales] del cuadrilátero completo. El triángulo correspondiente se llama triángulo [diagonal] del cuadrilátero completo. Hay varios hechos que resultan inmediatamente de las propiedades de un cuadruplicado de puntos conjugados armónicos en una línea, que se discuten en Harmonic.html : 
1) Los lados del triángulo [diagonal] están divididos armónicamente por los lados del cuadrángulo. Por ejemplo, en la figura a continuación, L, M son conjugados armónicos a G, F. 
2) Los lados del cuadrángulo completo también están divididos armónicamente por los lados del [triángulo diagonal]. Por ejemplo, G, I están conjugados con C, A. 
3) Los puntos de intersección de los lados del cuadrángulo y los lados del [triángulo diagonal] son, por tres colineales. Por ejemplo, H, L, J son colineales. Por cierto, la línea de H, L, J es la [polar trilineal] del punto A con respecto al triángulo EFG.