GEOMETRÍA DINÁMICA

Simetría de funciones cúbicas.

La gráfica de la función cúbica general y = ax ³ + bx ² + cx + d es simétrica con respecto al punto de inflexión A, que es el punto, donde la segunda derivada y '' = 6ax + 2b se desvanece.

Para demostrarlo, calcule f (k), donde k = -b / (3a), y considere el punto K = (k, f (k)). Luego, traduzca el origen en K y muestre que la curva toma la forma y = ux ³ + vx, que es simétrica respecto al origen. 
Tenga en cuenta que los gráficos de todas las funciones cúbicas son afines equivalentes.

Cúbico con raíces complejas.

Considere una función cúbica con coeficientes reales y raíces complejas. Más tarde debe ser de la forma a + ib, a-ib (conjugado complejo), de ahí la forma de la función: c * (a + ib-x) * (a-ib-x) * (xr) = c * ( (ax) ² + b ² ) * (xr), r es una raíz real. La derivada es c * ((ax) ² + b ² ) -c * 2 * (ax) * (xr), su valor en x = a es c * b ² . La tangente en este punto se calcula fácilmente y tiene la ecuación y = c * b ² * (xr), pasando así a través de la raíz real del cúbico.

Algunas propiedades adicionales se discuten a continuación. Por conveniencia asumimos que c = 1. 
Es fácil encontrar el segundo punto para el cual la tangente es paralela a la anterior. Esto sucede para x = e = (a + 2 * r) / 3. Los dos puntos correspondientes A, B en el gráfico tienen tangentes paralelas y la M media de la línea AB coincide con el centro de simetría del cúbico, por lo que localiza su punto de inflexión, donde la segunda derivada es cero, en g = (e + a ) / 2 = (2 * a + r) / 3. 
Sea C el otro punto de intersección del qubic con la tangente en B. (r, 0) y las proyecciones de los cuatro puntos A, B, M y C en el eje x son equidistantes, siendo la distancia común (ar) / 3.

 Cortar bajo un ángulo dado

Dados dos puntos A, B y un círculo (c). Para construir un círculo (c ') que pase por {A, B} y corte (c) bajo un ángulo dado.

Considere todos los círculos (c ') que pasan por A e intersectan el círculo dado (c) bajo el ángulo dado. Considere también la inversión F en el círculo (d) centrado en A y ortogonal a (c). Mediante esta inversión, el círculo (c ') se transforma en una línea F (c'). La condición de la intersección de {c ', c} bajo un ángulo fijo, se traduce a la tangencia de las líneas F (c') a un círculo c ₀ , concéntrico a c. El punto B se transforma de F a B 'y el problema se reduce al de dibujar tangentes de B' al círculo c ₀ . 
La discusión de las diversas posibilidades y condiciones de existencia de las soluciones es bastante sencilla.
Más interesante me parece el lugar de los centros de los círculos (c '), que es una hipérbola (h). La hipérbola (h) es la homotética de otra hipérbola (h ') resultante de la inversión de un determinado limacón (m) con respecto a A. El limacón es el pedal del círculo c ₀ con respecto a A, es decir, el lugar de las proyecciones de A en las tangentes a c ₀ . 
Por las propiedades bien conocidas del limacon (ver Limacon.html ), la inversa de esta curva con respecto a los círculos centrados en A es hiperbolas. Así, los inversos F de E describen una hipérbola h 'y G, al estar en la mitad de la FA, describen correspondientemente una homotética a h' hipérbola h.
Invirtiendo el argumento obtenemos una caracterización de la hipérbola como el lugar geométrico de los centros de círculos que pasan por un punto fijo A e intersectan un círculo fijo (c) bajo un ángulo determinado. El punto A es el foco de esta hipérbola.