GEOMETRÍA DINÁMICA

 Las cónicas a través de cuatro puntos como cónicas triangulares.

Considere todas las cónicas que pasan por los cuatro puntos {A, B, C, D}. Forme el triángulo ABC y la línea tripolar L = tr (D) de D con respecto a este triángulo. Indica con (t) la transformación isogonal / isotómica generalizada definida por estos cuatro puntos. Dibuje también la circum-cónica (c ₀ ) y el en-cónica (c ₁ ), teniendo ambos perspector D. 
Consideremos a continuación, un arbitrario c cónica _P pasa a través de los cinco puntos {A, B, C, D, P}, P siendo un punto en c ₀ considerado como un parámetro de la familia de las cónicas {c _P }. 

[1] Todos los polares trilineales tr (X) de los puntos X que se encuentran en una cónica de este tipo son concurrentes a un punto P ₀ (el perspector de c _P) acostado en tr (D). En particular, el polar trilineal de P pasa a través de D. 
[2] El polar trilineal L ₀ = tr (P ₀ ) de P ₀ es tangente al incónico c ₁ en un punto P ₁ . El último punto y t (P ₀ ) son puntos colineales con la línea L ₁ = PD.

Introduzca la base proyectiva con los puntos base {A, B, C} y el coordinador D. En este sistema, los puntos base tienen coordenadas correspondientes {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1 )} y D tiene coordenadas (1,1,1). 
En este sistema, también el trilineal polar tr (D) tiene una ecuación de la forma x + y + z = 0 y las cónicas (c ₀ ) y (c ₁ ) tienen las ecuaciones correspondientes (consulte IsogonalGeneralized.html ): 
c ₀ : (1 / x) + (1 / y) + (1 / z) = 0, 
c ₁ : x ² + y ² + z ² -2yx-2zy-2xy = 0. 
Un cónica c arbitrario _P a través de {A, B, C} tiene la ecuación: 
a / x + b / y + c / z = 0 (1).
D (1,1,1) que se supone que está en la cónica implica que 
a + b + c = 0 (2), lo
que significa que P ₀ (a, b, c) es un punto en tr (D). 
En el otro lado, el polar trilineal de un punto X (u, v, w) en la cónica _{P P} es 
x / u + y / v + z / w = 0. 
Pero a / u + b / v + c / w = 0 implica que esta línea pasa por P ₀ . Esto prueba la afirmación en [1]. La otra afirmación se deriva del hecho de que D es el responsable de la cónica c ₀ por lo tanto, todos los tripolares de puntos en c ₀ pasan a través de D. 
Para demostrar [2], observe que todos los puntos en tr (D) tienen la propiedad de que su trilineal los polares son tangentes a c ₁ (consulte IsotomicConicOfLine.html)). P _{0 que} tiene coordenadas (a, b, c) implica que P * = t (P ₀ ) tiene coordenadas (1 / a, 1 / b, 1 / c), por lo tanto en la c ₀ c . 
El punto de intersección de la línea P * + tD con c ₁ se puede calcular fácilmente para que sea (@ significa coordenadas permutadas cíclicas): 
@ (bc + 2a ² ) (3). 
Esto puede verse fácilmente para satisfacer la ecuación (1) de c _p cónica , por lo tanto coincide con P. 
Tenga en cuenta que t (P ₀ ) tiene coordenadas (1 / a, 1 / b, 1 / c) y está en c ₁ . Pero este punto satisface también la ecuación de la cónica ((1) y (2)), por lo tanto, coincide con P. 

ObservaciónLa figura sugiere algunas otras coincidencias. Algunos de ellos se prueban en el archivo IsotomicGeneral.html y se analizan nuevamente en el archivo IsotomicChart.html .

 Cónica a través de la correspondencia cuadrática.

Dados dos vectores a y b , considere los puntos en sus líneas {f _x = f (x) * a , g _x = g (x) * b }, donde las funciones están dadas por las fórmulas simples. 
1) f (x) = (A * x) / (C * x + D). 
2) g (x) = (A1 * x ² + B1 * x) / (C1 * x + D1). 
Luego la línea L _{x que} pasa por estos puntos {f _x , g _x } envuelve una cónica. 
Construye esta cónica.

La construcción ilustrada en la figura anterior se realiza de la siguiente manera. 
1] Para mostrar que la envoltura es cónica, redúzcala a una envoltura de Chasles-Steiner para líneas que unen puntos en relación homográfica. 
(Ver Chasles_Steiner_Envelope.html ). Para este espectáculo, hay un tercer vector c , tal que su línea es interceptada por L _x en los puntos e _x , tal que la correspondencia f _x -> e _x es homográfica. 
2] Esto necesita algún cálculo pero no es problemático mostrarlo. 
3] También es relativamente fácil mostrar que el vector c es colineal con la línea de limitación L ₀ , obtenida para x -> 0.
4] Según Chasles-Steiner, la cónica envolvente es tangente a las líneas generadas por { a , c }. 
5] Además, es fácil encontrar el punto de contacto f ₀ del contacto con la primera línea (identificado con el eje x). 
6] Igualmente fácil se determina el punto g ₀ para el cual la tangente es paralela al eje x. 
Las fórmulas anteriores dan pistas sobre cómo se hace esto. 
7] También es fácil encontrar las tangentes paralelas a la segunda línea, interceptando el eje x en f ₁ y A / C respectivamente. 
8] Entonces, los paralelogramos circunscritos e inscritos en la cónica y comenzando en f ₀ son inmediatamente construibles.
9] La cónica se determina como el miembro de la familia bitangente determinada por el triángulo f ₀ pf ₁ y pasa a través de q.

 Afinidad de conjugación de la elipse.

Los diámetros conjugados de una elipse son direcciones representadas por vectores u = (u ₁ , u ₂ ), de 
modo que u ^t M v = 0. M representa aquí la matriz que define la cónica (consulte Conic_Equation.html ). 
Los diámetros geométricos se definen como el lugar de los centros de los acordes paralelos de las cónicas. 
Cada dirección que define una familia de cuerdas paralelas define también otra dirección: la del diámetro correspondiente que lleva las medias. El conjugado de un diámetro cónico pasa a través de los puntos de contacto de las tangentes paralelas a ese diámetro (idib).
Para las elipsis, la conjugación de diámetro define una afinidad de la elipse realizada a través de las tangentes a una homotética de la misma con relación 1 / sqrt (2).

La afinidad que preserva la cónica se define asociando a un punto A de la elipse el punto B, de modo que OB es la dirección conjugada de OA, siendo O el centro de la elipse y B el primer punto del diámetro del conjugado en el sentido de las agujas del reloj. Sentido de rotación. 
La afirmación sobre la tangencia que se produce en la M media de AB resulta de la afinidad que mapea el círculo a la elipse. Siempre existe tal afinidad y dado que este tipo de mapa conserva las proporciones a lo largo de una línea y una paralelismo, asigna los diámetros conjugados del círculo a los diámetros conjugados de la elipse. 
Pero la conjugación en un círculo corresponde a un diámetro ortogonal, el mapa correspondiente A | -> B define las cuerdas que son tangentes a un círculo concéntrico con radio r / sqrt (2), si r es el radio del círculo.

Como los cuadrados en AB son los cuadrángulos máximos inscritos (en relación con el área) en el círculo, sus imágenes afines debajo del mapa que lleva el círculo sobre la elipse son los cuadriláteros máximos inscritos en la elipse. Por lo tanto, los paralelogramos de la elipse que tienen diámetros conjugados como diagonales son los cuadrados de área máxima inscritos en una elipse. Todos ellos tienen la misma área cuya relación a la de la elipse es la misma que la relación entre el área del círculo y el área del cuadrado inscrito (consulte ParaInscribedEllipse.html ).

Observe que un tipo similar de mapa que corresponde a los puntos de intersección de la cónica con los diámetros conjugados no es posible para los otros tipos de cónicas. Para los hipérbolas, si A está en una rama de la hipérbola, entonces el diámetro OB conjugado de OA no se interseca con la hipérbola. Para las parábolas todas las direcciones conjugadas coinciden con la dirección de su eje.