GEOMETRÍA DINÁMICA

Inversión de conjugado

Considere dos inversiones con respecto a dos círculos z (Z) y x (X): Inv_Z, Inv_X. Luego, la transformación conjugada f = (Inv_Z) * (Inv_X) * (Inv_Z) es igual a la inversión Inv_W, con respecto al círculo w (W), que es el inverso del círculo x (X) con respecto a z (Z) . Así, z (Z) es el [Intercambio de inversión] círculos x (X) yw (W), y tenemos 
(Inv_Z) * (Inv_X) * (Inv_Z) = (Inv_W) <==> (Inv_Z) * (Inv_W) ) = (Inv_X) * (Inv_Z).

Este hecho sobre las inversiones se utiliza en el archivo MidCircleInverted.html para probar que las inversiones conservan la [propiedad de intercambio de inversiones] de un círculo.

Diámetro de la involución del conjugado.

Este es un caso especial de una homografía involutiva de una cónica (consulte InvolutiveHomography.html para el caso general). Es un mapa T de la cónica sobre sí mismo definido fijando una dirección (línea) d. A cada punto X de la cónica X '= T (X) está el otro punto de intersección de la línea d' paralela a d con la cónica. 
T se extiende a una homografía de todo el plano proyectivo. Para esto, considere el nivel de las cónicas generadas por c, es decir, cuando c está dada por una ecuación cuadrática f (x, y) = k considere las cónicas c 'resultantes de la variación de k. T puede extenderse para actuar en cada cónica con la misma receta que en c. Observe que todas las cónicas f (x, y) = k comparten los mismos ejes principales.
El eje homográfico en este caso es el conjugado a la dirección d diámetro d 'de la cónica.

Triángulos conjugados

Dado un cono (c), dos triángulos ABC, A'B'C 'se llaman conjugados con respecto a (c) si los vértices de cada uno son los polos de los lados del otro triángulo. Hay varios hechos relacionados con esta relación: 
[1] La relación está bien definida y es simétrica. 
[2] Los dos triángulos ABC, A'B'C 'son puntos de perspectiva con respecto a algún punto O. 
[3] Los dos triángulos son ejes-perspectiva con respecto a alguna línea (e), que es el polar de O con respecto a (c).

Considerando la pregunta como un problema del plano proyectivo (ver ProjectivePlane.html ), una cónica se representa a través de una matriz M simétrica invertible de 3x3 y la ecuación cuadrática correspondiente de la forma x ^t Mx = 0. 
Para un punto z, la línea polar correspondiente p (x) = 0 viene dada por p (x) = z ^t Mx = 0. 
La simetría de esta ecuación es la razón de la reciprocidad polar-polar. De hecho, la simetría w ^t Mv = v ^t Mw = 0, significa que si el p polar _v de v pasa a través de w entonces también la p polar _w de W pasa a través de v. 
Let ahora {x ₁ , x ₂ , x ₃} representan los vértices de ABC y {p ₁ , p ₂ , p ₃ } sean los polares correspondientes con respecto a (c). Supongamos que {y ₁ , y ₂ , y ₃ } representan los vértices de A'B'C ', siendo y ₁ la intersección de p ₂ , p ₃ , y ₂ es la intersección de p ₃ , p _1, etc., 
y ₁ estando en p ₂ , su polar pasa por x ₂ (B). y ₁ está también en p ₃ , su polar pasa a través de x ₃ (C). Así el polar de y _1.(A ') coincide con el lado BC. Un argumento análogo es válido para los otros puntos y ₂ , y ₃ , y muestra que la relación de conjugación está bien definida y es simétrica. 
Para mostrar [2], defina los tres números t ₃ = p ₁ (x ₂ ) = x ₁ ^t Mx ₂ = x ₂ ^t Mx ₁ = p ₂ (x ₁ ) (por la simetría de la matriz M). Análogamente, t ₁ = p ₂ (x ₃ ), t ₂ = p ₃ (x ₁ ). 
Cualquier línea a través del punto de intersección A 'de p₂ (x) = 0, p ₃ (x) = 0 se representa a través de p ₂ (x) -kp ₃ (x) = 0. Dicha línea que pasa por A (x ₁ ) satisface p ₂ (x ₁ ) -kp ₃ (x ₁ ) = 0 == k = t ₃ / t ₂ , por lo que la línea viene dada por: 
t ₂ p ₂ -t ₃ p ₃ = 0. (I) 
Análogamente obtenemos las ecuaciones de las otras líneas (BB 'y CC') a través de las ecuaciones: 
t ₃ p ₃ -t ₁ p ₁ = 0, (II) 
t ₁p ₁ -t ₂ p ₂ = 0. (III). 
Obviamente, la última ecuación es la suma negativa de los dos primeros, por lo tanto, las tres líneas pasan por el mismo punto. 
La última afirmación [3] es una consecuencia de la anterior. De hecho, B * está en el polar de B 'y el polar de B implica que B * es el polo de BB'. Análogamente, C *, A * son los polos de CC 'y AA' correspondientes. Como AA ', BB', CC 'pasan a través de O, sus polos están contenidos en el polar de O.