GEOMETRÍA DINÁMICA

 Familia de cónicas

Una familia de cónicas I (a, b) se define por dos cónicas. Si las cónicas se describen mediante las ecuaciones f (x, y) = 0, g (x, y) = 0, entonces la familia consiste en cónicas descritas por la ecuación h _{s, t} (x, y) = 0, donde 
h _{s, t} (x, y) = sf (x, y) + tg (x, y). 

Considere la representación de las cónicas a través de matrices simétricas, de modo que las cónicas (a), (b) se representen respectivamente mediante ecuaciones de la forma x ^t A ₁ x = 0 y x ^t A ₂ x = 0. Luego, la familia generada por dos cónicas (a) y (b) tienen miembros representados por ecuaciones de la forma: 
x ^t A _{s, t} x = 0, donde la matriz simétrica A _{s, t} = sA₁ + tA ₂ . 

Un papel crucial en la discusión juega el determinante d (s, t) = | A _{s, t} | y, en particular, sus raíces, que determinan los miembros cónicos singulares (o degenerados) de la familia I (a, b). Suponiendo que A ₁ , A ₂ no son singulares, obviamente hay como máximo tres. Se obtienen resolviendo la ecuación homogénea d (s, t) = 0, o resolviendo de manera equivalente el problema del valor propio: 
| sA ₁ + tA ₂ | = 0 <==> | A ₁ A ₂ ^-1 + t / s | = 0. 

En el caso genérico, en el que A ₁ A ₂ ^-1tiene tres valores propios reales diferentes, los tres vectores propios correspondientes v ₁ , v ₂ , v ₃ representan tres puntos del plano proyectivo, satisfaciendo la ecuación del vector propio: 
A ₁ A ₂ ^-1 v _i + (t _i / s _i ) v _i = 0, y el ajuste w _i = A ₂ ^-1 v _i ==> s _i A ₁ w _i + t _i A ₂ w _i = 0. 
Desde (y ^tAw = 0, la variable y) representa la línea polar de w con respecto a A, la ecuación anterior implica que w _i tiene la misma línea polar L _i con respecto a todos los miembros de la familia.

La figura anterior muestra una familia típica que consta de todas las cónicas que pasan por cuatro puntos {A, B, C, D} en posición general. La familia es generada por dos miembros cualquiera (degenerados o no) y contiene tres cónicas degeneradas representadas por los pares de lados opuestos del cuadrilátero ABCD completo. 
w ₁ , w ₂ , w ₃ coinciden con los puntos de intersección de los lados opuestos y la L _i polar de w _i contiene los otros dos w _j , s. Esto se puede ver algebraicamente usando las ecuaciones: s _i A ₁ w _i + t _i A ₂ w _i= 0, s _jA ₁ w _j + t _j A ₂ w _j = 0, multiplicando el primero por w _j , el segundo por w _i restando etc. 
El triángulo w ₁ w ₂ w ₃ es auto-polar (o autopolar) con respecto a cualquier miembro de la familia I (a, b). 
Otro uso de w _i 's se hace con frecuencia considerando las imágenes F (L) de las líneas bajo la llamada transformación cuadrática F, definida por la familia. Estas imágenes F (L) son cónicas que pasan por los puntos w ₁ , w ₂ , w ₃ .

Cónicas de círculos

Dados dos círculos que se cruzan, el lugar geométrico de los puntos C es tal que las distancias | CD |, | CE | de los dos círculos (A, r) y (B, R) son iguales es una hipérbola junto con una elipse, con focos en los centros de los círculos y ortogonales entre sí.

En la ecuación de hipérbola sobre a = | FG | / 2, donde FG se da cuenta de la diferencia de los radios de círculo: | Rr |, mientras que b² = c² - a² = | OB | ² - | OI | ² y c = | OA | Es la mitad de la distancia de los dos centros.

En la ecuación de elipse sobre a = | R + r | / 2, c = | OA |, como antes, y b² = a² - c². 
Las dos cónicas son ortogonales en su punto de intersección. En el caso de dos círculos que se encuentran afuera / dentro de la otra, solo hay una hipérbola / elipse que satisface la condición del locus.

Ecuación de dos líneas.

Aquí trabajo en coordenadas homogéneas (ver ProjectiveCoordinates.html ) en las cuales las líneas están representadas por formas lineales 
L (X) = mx + ny + pz = 0, y las cónicas están representadas por formas cuadráticas simétricas q (X, X) = ax ² + por ² + cz ² + 2fyz + 2gzx + 2hxy = 0. Indico 
con la misma letra q (X, X ') la forma bilineal correspondiente: 
                                                      q (X, X') = axx '+ byy' + czz '+ f (yz '+ y'z) + g (zx' + z'x) + h (xy '+ x'y). 
La propiedad a mostrar es la siguiente [SalmonConics, p. 270]: 


Deje que una línea L (X) = 0 intersecte la cónica q (X, X) = 0 en dos puntos {X ₁ , X ₂ }.X ₁ , L ₂ = X ₀ X ₂ } 
unir un punto X ₀ con estos dos puntos se puede representar como un producto de líneas a través de la 
ecuación cuadrática (degenerada) : 
(0) L ² (X) q (X ₀ , X ₀ ) -2L (X) L (X ₀ ) q (X, X ₀ ) + L ² (X ₀ ) q (X, X) = 0.

Para probar esto, considere una línea arbitraria a través de X ₀ y un punto X, que en forma paramétrica está representado por: 
(1) X '= kX ₀ + mX. 
El punto de intersección de esta con L (X ') = 0 satisface: 
(2) KL (X ₀ ) + ML (X) = 0 => (k: m) = (L (X): L (X ₀ ) ). 
Si este punto también está en la cónica, entonces q (X ') = 0 se traduce en: 
(3) 0 = q (X', X ') = q (-L (X) X ₀ + L (X ₀ ) X, -L (X) X ₀ + L (X ₀ ) X) = L ² (X) q (X ₀ , X₀ ) -2L (X) L (X ₀ ) q (X ₀ , X) + L ² (X ₀ ) q (X, X) ,
que es la ecuación reivindicada. 

Esta propiedad simple algunas aplicaciones interesantes discutidas a continuación.

 2. punto de Fregier

Si un ángulo recto gira alrededor de un punto X _{0 que se} encuentra en la cónica c: q (X, X) = 0, entonces el acorde interceptado por sus 
piernas en la cónica pasa a través de un punto constante Y _{0 que se} encuentra en la normal en X ₀ ( ver Fregier.html ).

Para demostrarlo, utilice las coordenadas homogéneas naturales resultantes de la homogeneización de las 
coordenadas cartesianas, es decir, la sustitución de la cartesiana (x ', y') por (x '= x / z, y' = y / z) (consulte ProjectiveCoordinates.html ). En este sistema, 
si un producto de las líneas L (X) * L '(Y) = (mx + ny + pz) (m'x + n'y + p'z) consiste en líneas ortogonales , entonces, desde la cantidad: 
(4) mm '+ nn', 
representa el producto interno de las normales de las dos líneas, esto debe ser cero. Lo inverso también es cierto y proporciona 
una condición necesaria y suficiente para que una cuadrática degenerada represente el producto de dos ortogonales.
Líneas (en el sistema de coordenadas natural homogéneo). 
Aplique este criterio a la configuración anterior, para la cual X ₀ está en la cónica, por lo tanto, q (X ₀ , X ₀ ) = 0. Por (0): 
(5) -2L (X) q (X, X ₀ ) + L (X ₀ ) q (X, X) = 0, 
es el degenerado cuadrático que da el producto de las líneas L ₁ * L ₂ = 0. Se ve fácilmente que los coeficientes de x ² y y ² en esto son 
: 
(6) -2 (amx ₀ + bny ₀ ) + (mx ₀ + ny₀ + pz ₀ ) (a + b) = 0. 
Así, la línea variable L (X) = mx + ny + pz pasa por el punto: 
(7) Y ₀ = ((ba) x ₀ , (ab) y ₀ , (a + b) z ₀ ). 

Corolario El punto Fregier Y ₀ de X ₀ varía en una c 'c', como X ₀ varía en la cónica de referencia c. 

De hecho (7) muestra que los puntos Y ₀ son transformadas de X ₀ : Y ₀ = F (X ₀ ), donde el mapa F es una proyectividad
representado en coordenadas homogéneas a través de la diagonal de la matriz diag (ba, ab, a + b).

 3. General girando ángulo recto

Si un ángulo recto gira alrededor de un punto X _{0 que} no está sobre la cónica c: q (X, X) = 0, entonces el acorde interceptado por sus 
patas en la cónica envuelve una segunda cónica c '.

En este caso, la línea que une los puntos de intersección {x, x '} de las piernas del ángulo con la cónica tiene coeficientes 
(r, s, t) y satisface la ecuación de la primera sección: 
                     (rx + sy + tz) ² q ( x ₀ , x ₀ ) -2 (rx + sy + tz) (rx ₀ + sy ₀ + tz ₀ ) q ( x ₀ , x ) + (rx ₀ + sy ₀ + tz ₀ ) ² q ( x , x ) = 0. 
De nuevo, la ecuación mm '+ nn' = 0 para la suma de los coeficientes de los términos x ² y y ², como se explicó en la sección anterior, 
lleva este tiempo a una ecuación cuadrática con respecto a (r, s, t) con coeficientes que dependen de las coordenadas (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) 
y los coeficientes (a, b, c, f, g, h) de la cónica. Así, la línea envuelve una cónica.

 4. El vicio de los cálculos.

Para satisfacer la curiosidad hago los cálculos de los coeficientes de la cónica satisfechos por (r, s, t). 
Primero, la suma de los coeficientes de los términos x ² y y ² es:

Al igualar la suma de los coeficientes a cero, obtenemos la ecuación en (r, s, t):