GEOMETRÍA DINÁMICA

Cónicas y similitudes de círculos III.

El archivo CirclesSimilar.html contiene una breve discusión sobre el lugar de los puntos que sirven como centros de similitud F de cierta similitud S mapeando un círculo (d) a otro círculo (d '). En el archivo ConicsAndSimilarities.html se muestra que, para semejante similitud, la línea EE 'que une un punto E en (d) con E' = S (E) en (d ') envuelve una cónica con un foco en F y tangente ( bajo ciertas condiciones) a los dos círculos dados (d) y (d '). 
El siguiente ejemplo es un caso en el que los dos círculos (d) y (d ') se intersecan y la cónica es tangente solo a uno de ellos.

Los puntos {V, W} son los centros de homotecnia de los dos círculos (d) y (d '). El círculo (f) tiene estos dos puntos como puntos diametral. F está siempre en este círculo. En esta configuración, los dos círculos (d) y (d ') se intersecan y el círculo con puntos diametral {V, W} pasa a través de los puntos de intersección {M, N} de (d) y (d'). Para las ubicaciones de F que están dentro de la intersección de los dos discos circulares, la cónica correspondiente es una elipse. Para las otras ubicaciones de F en el círculo (f), la cónica correspondiente es una hipérbola. 
En el primer caso, en el que F está en el arco MN de (f) que se encuentra dentro de la intersección de los dos discos circulares, la elipse resultante puede contactar, uno, ambos o ninguno de los dos círculos (d) y (d ') .

Cónicas degeneradas.

Las cónicas se describen en coordenadas cartesianas mediante las ecuaciones: 
                                                               f (x, y) = ax ² + 2bxy + cy ² + 2dx + 2ey + f = 0. 
Las cónicas degeneradas son aquellas para las cuales el determinante de la matriz simétrica correspondiente M es cero:

La matriz sirve para representar la cónica como una forma cuadrática en coordenadas homogéneas. 
Al establecer X = (x, y, z) y denotar con X ^t el vector columna transpuesto, esto es:

La ecuación f (x, y) = 0 resultados al configurar z = 1: f (x, y) = F (x, y, 1) = 0. Por cierto, esta representación justifica el uso de "dos" en la primera fórmula para f (x, y). 
Si f (x, y) es un producto de las líneas Ax + Por + C, A'x + B'y + C ', entonces se ve fácilmente que la matriz M resultante tiene un determinante 0. 
De hecho, M tiene la forma :

La naturaleza de la cónica está determinada por sus tres invariantes : J ₁ = a + c, J ₂ = ac-b ² y J ₃ = | M |, la última denota el determinante de la matriz. Esto es cierto para cada cónica. En particular para los degenerados tenemos: 
1) J ₃ = 0 y J ₂ > 0, luego dos líneas imaginarias (ejemplo: x ² + y ² = 0). 
2) J ₃ = 0 y J ₂ <0 de="" dos="" ejemplo:="" font="" intersecci="" l="" luego="" n="" nbsp="" neas="" reales="" x="">² -y ² = 0). 
3) J ₃ = 0 y J ₂= 0, luego dos líneas paralelas reales (ejemplo: x ² + x = 0).

 2. Determinar los factores.

Suponiendo la cónica degenerada en la forma general: 
                                                               f (x, y) = ax ² + 2bxy + cy ² + 2dx + 2ey + f = 0, 
(con | M | = 0) la determinación de las dos líneas a partir de los coeficientes implica un cálculo simple, 
que representa f (x, y) como una diferencia de los cuadrados f (x, y) = m (x, y) ² - n (x, y) ² , siendo las dos líneas m (x, y) ) + n (x, y) y m (x, y) -n (x, y) (ver Loney p. 95). 
Para lograr esto, multiplica f por a: 
                                                         a ² x ² + 2abxy + acy ² + 2adx + 2aey + af = 0. 
Separa los términos que involucran y:
                                                         a ² x ² + 2abxy + 2adx = - (acy ² + 2aey + af), 
                                               <=> a ² x ² + 2ax (por + d) = - (acy ² + 2aey + af). 
Completando el cuadrado de la izquierda: 
                                                         a ² x ² + 2ax (por + d) + (por + d) ²   = (por + d) ² - (acy ² + 2aey + af), 
                                                 <=> (ax + by + d) ²   = y ² [b ² -ac] + 2y [bd-ae] + [d² -af]. 
La condición | M | = 0 se ve fácilmente como equivalente a la desaparición del discriminante del polinomio cuadrático del lado derecho en y. En este caso, el lado derecho se puede escribir en la forma: 
                                                         y ² [b ² -ac] + 2y [bd-ae] + [d ² -af] = (uy + v) ² , 
y las dos líneas requeridas son ( ax + by + d) + (uy + v) = 0, (ax + by + d) - (uy + v) = 0. 
u y v deben satisfacer u ² = b ² -ac, v ² = d ²-af y uv = bd-ae, permitiendo posteriormente la selección correcta de signos para u, v en términos de los coeficientes dados.

 3. Ejemplo

Como ejemplo (Loney p.97) resuelve    12x ² + 7xy-10y ² + 13x + 45y-35 = 0   en dos factores lineales. 
Haciendo los cálculos de la sección anterior resulta que | u | = 23/2, | v | = 43/2 y uv <0 .="" font="" nbsp="">
Por lo tanto, los signos deben ser opuestos, dando u = 23/2 y v = -43 / 2 y en consecuencia: 
                                     (ax + by + d) + (uy + v) = (12x + (7/2) y + (13/2) ) + ((23/2) y - (43/2)) = 0, 
dando el factor 4x + 5y - 5 = 0. 
Análogamente (ax + by + d) - (uy + v) = (12x + (7 / 2) y + (13/2)) - ((23/2) y - (43/2)) = 0, 
dando el factor 3x - 7y + 7 = 0.

 4. Variando la constante

Comenzando con una cónica degenerada y variando la constante f obtenemos en general cónicas no degeneradas: 
                                f (x, y) = ax ² + 2bxy + cy ² + 2dx + 2ey + f = k. 
Estas son curvas de nivel de la función f (x, y) y si la ecuación degenerada se resuelve en dos líneas reales que se intersecan, las superficies de nivel correspondientes son hipérbolas que tienen estas líneas como asíntotas.

Esto resulta inmediatamente del hecho de que una ecuación de la forma (ax + by + c) (a'x + by '+ c') = k (k no-cero) representa una hipérbola con respecto a sus asíntotas, que son las dos líneas en el lado izquierdo (consulte HyperbolaAsymptotics.html ). 

Existe un comportamiento similar para los otros casos de cónicas degeneradas. Por ejemplo, en el caso de que la cónica degnerada represente dos líneas paralelas (J ₂ = 0 en la sección 1), las curvas de nivel son nuevamente líneas imaginarias o líneas paralelas reales. Por ejemplo, si f (x, y) = x ² + x, según el discriminante de x ² + xk, la ecuación f (x, y) = k representa dos líneas imaginarias o dos rectas paralelas reales. De manera similar, en el caso de J ₂ > 0 como es para f (x, y) = x ² + y² , configurando f (x, y) = k obtenemos círculos reales o imaginarios.