GEOMETRÍA DINÁMICA

Afinidades

Estas son transformaciones invertibles del plano sobre sí mismo, que, al arreglar un sistema de coordenadas (no necesariamente ortogonales o que tienen longitudes de unidad iguales en los ejes), se definen por:

La matriz que tiene determinante no cero. 

Las afinidades se definen prescribiendo sus valores {Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ } en tres puntos del plano {P ₁ , P ₂ , P ₃ }, estando ambas posiciones de puntos en la posición general.

 2. Propiedades basicas

El conjunto de todas las afinidades del plano es un grupo G, que contiene las rotaciones, reflexiones, traslaciones y similitudes. Las principales propiedades de las afinidades son: [1] Conservan líneas y relaciones en ellas. 
[2] Conservan paralelismo. 
[3] Conservan la congruencia mediante traducciones (triángulos amarillos). 
[4] Se multiplican las áreas con D.   

 3. Propiedades adicionales

Las afinidades transforman las cónicas en cónicas del mismo tipo. Además conservan la conjugación de diámetros. En particular, mapean diámetros ortogonales de círculos para conjugar diámetros de elipses. Llame a dos curvas afines equivalentes si una es una transformada de la otra a través de una afinidad. 
[1] Todas las elipses son afines equivalentes al círculo x ² + y ² = 1. 
[2] Todas las hipérbolas son afines equivalentes a la hipérbola xy = 1. 
[3] Todas las parábolas son afines equivalentes a la parábola y = x ² .

 4. Clasificación de equivalencia afín.

[1] La clasificación de curvas algebraicas reales de grado tres ( cúbicas ), con respecto a la equivalencia afina, tiene sus orígenes en Newton y Pluecker y fue completada por M. Nadjafikah (arXiv.math. DG / 0507383 v1. 19 de julio de 2005) . Las curvas caen en siete clases. 
[2] Para los grados superiores la clasificación aún no se ha hecho. 
[3] Un problema particular en el marco de la clasificación es la determinación de los subgrupos de isotropía H _J , de G, para las diversas clases J de curvas equivalentes. H _J consiste en todas las afinidades que dejan invariantes a algunos miembros típicos de la clase J. 
[4] En el caso de las cónicas no degeneradas, todas las H _JSon isomorfos al grupo de rotaciones y reflexiones {W _x }, dejando fijo un punto x del plano. Esto se ve directamente para los puntos suspensivos, ya que todos ellos son afínamente equivalentes al círculo. Los otros casos pueden ser manejados por proyectividades que llevan la cónica dada al círculo.

 5. Afinidad equivalente de una elipse a sí misma.

En el caso de una elipse (c), las afinidades que lo preservan son las conjugaciones bien conocidas a lo largo de algún diámetro, y las conjugaciones a lo largo de las tangentes de las elipses homotéticas. 
La figura anterior ilustra una afinidad del segundo tipo F (A -> B) que deja invariante una elipse. La afinidad se define por los acordes AB tangente (en su punto medio) a una elipse b 'que es homotética a' con respecto a su centro. Tanto a 'como b' son imágenes de círculos concéntricos a través de otra afinidad G. F corresponde, a través de esa afinidad G (conjugación de G: F = G * R * G ^-1 ), a las rotaciones habituales (R) del círculo alrededor de su centro 
Una consecuencia de esto es que el área de los dos sectores de la elipse,
Consulte la figura correspondiente para las parábolas en ParabolaSymmetries.html .

 6. problema

¿Qué tipo de transformación se produce si, en relación con la elipse homotética anterior, tomamos una elipse arbitraria b 'que se encuentra completamente dentro de la elipse a'?

La solicitud resultante de dicha correspondencia no es una homografía. La imagen de arriba indica por qué. 
Allí se define la homografía F puntos de mapeo {A, B, C} del círculo a 'correspondientemente a {A', B ', C'} del mismo círculo de modo que las líneas {AA ', BB', CC '} Son todos tangentes al círculo interno b '. Esta homografía se asocia a cada punto X en un 'punto X' = F (X) en a ', de modo que XX' es tangente a una cónica (la elipse roja). 
Esta cónica, en general, no coincide con el círculo interno b '. Incluso los puntos de contacto (blanco) de las tres líneas {AA ', BB', CC '} con la cónica no coinciden con los puntos de contacto (verde) de las mismas líneas con el círculo interno b'.

Las afinidades y sus puntos fijos.

Aquí considero las afinidades f (ver Afinidad.html ) del plano y las clasifico de acuerdo con el número de sus puntos fijos, es decir, los puntos P, de manera que f (P) = P. 
Al hacerlo, también tengo en cuenta el comportamiento de f en el plano extendido , incluidos los puntos en el infinito . Estos puntos adicionales del plano pueden identificarse con la dirección común de las líneas paralelas, una línea L que define un punto en el infinito ya que determina una dirección de las líneas paralelas. 
Como se verá más adelante, las afinidades siempre poseen puntos fijos que pueden ser puntos ordinarios o puntos en el infinito. 
En lo siguiente, identifico el plano (afín) con el conjunto de triples:

El conjunto de puntos en el infinito se identifica con tripples que representan direcciones:

ya que los dos triples definen la misma dirección en el plano. Un punto fijo en el infinito de una afinidad f corresponde a una línea L que se mapea debajo de f a una línea L 'paralela a L. Para un tratamiento más formal sobre las afinidades, mire [Audin, pp. 7].

 1. Un solo punto fijo ordinario

La afinidad genérica ( Affinity.html) tiene un único punto fijo en el plano. Esto se puede ver considerando un paralelogramo ABCD y su imagen A'B'C'D 'bajo la afinidad f. Luego considera las intersecciones de los lados opuestos correspondientes. Comencemos con el par lateral (AB, CD) y su par de imágenes (A'B ', C'D'). Los puntos de intersección {E, F} correspondientes a los pares (CD, C'D '), (AB, A'B') definen una línea y consideran un punto P en esta línea. Sean {E ', F'} las imágenes de estos puntos y P 'la imagen de P. Por la propiedad de las afinidades para preservar las relaciones PE / PF = P'E' / P'F ', por lo tanto E'F' es paralelo a EF o hay un punto de intersección O de las líneas EF y E'F '. Suponiendo el caso genérico de intersección, vemos fácilmente que O es un punto fijo de la afinidad. De hecho, PP ' siempre es paralelo a A'B ', por lo tanto, para Ptending a O, su punto de imagen P' también tiende a O. Por lo tanto, si hay un solo punto fijo O, esto está en la línea EF. Se puede aplicar un argumento similar al otro par de lados paralelos (AD, BC), sus imágenes (A'D ', B'C') y los correspondientes puntos de intersección {G, H} de pares de lados (AD, A 'D') y (BC, B'C '). Por lo tanto, en el caso genérico, el punto fijo es el punto de intersección O de las dos líneas EF y GH ([Kovacs, p. 103]). ) y (BC, B'C '). Por lo tanto, en el caso genérico, el punto fijo es el punto de intersección O de las dos líneas EF y GH ([Kovacs, p. 103]). ) y (BC, B'C '). Por lo tanto, en el caso genérico, el punto fijo es el punto de intersección O de las dos líneas EF y GH ([Kovacs, p. 103]).

 2. El caso de homología axial.

Un caso especial que es posible es que la línea E'F 'coincida con EF. En este caso, toda la línea EF consta de puntos fijos de afinidad. Por la preservación de relaciones debe ser EC / ED = E'C '/ E'D' = EC '/ ED'. Por lo tanto, CC 'y DD' son paralelos y EF divide estas líneas en la misma proporción. La siguiente figura ilustra este caso. 
En ese caso, cada punto que no se encuentra en la línea fija EF se asigna a un punto I 'en el paralelo a CC' desde I y tal que KI '/ KI es constante igual a k, 
independientemente de la posición de I. Tales afinidades son denominadas homologías axiales (o deformaciones ([CoxIntro, p. 203]) con eje EF y relación de homología k. 
La dirección (fija) de las líneas II 'de la homología. 
En el caso k = -1, la homología axial se denomina reflexión afín . Para cada punto I, el segmento II 'tiene entonces su centro en el eje, la línea II' siempre es paralela a una dirección fija CC '.

Las propiedades indicadas anteriormente se pueden probar fácilmente. Primero pruebe que la línea BC y su línea de imagen B'C 'se intersecan también en el eje EF. Esto se ve encontrando el punto de intersección de BC con EF y mostrando que B'C 'también pasa por ese punto. Análoga es la prueba de la afirmación sobre II '. 
Observación Tomando los ejes de coordenadas a lo largo de dos líneas especiales: a) la línea EF yb) una línea paralela a la dirección II ', la afinidad se representa a través de la matriz:

 3. El caso paralelo (sin punto fijo)

Puede suceder que la línea E'F 'sea paralela a EF (punto O en el infinito). En este caso, ilustrado por la siguiente figura, los puntos P de la línea EF se asignan a los puntos P 'onE'F', de manera que EE'P'P es un paralelogramo. Así, al componer la afinidad f con la traducción g que envía P 'de vuelta a P, obtenemos una nueva afinidad f' = g * f, 
que deja todos los puntos de la línea EF fijos. Así, en este caso, la afinidad original puede escribirse como una composición f = g ^-1 f ', es decir, como un producto de homología anaxial y una traducción . 
Según los argumentos de la sección anterior, la afinidad f 'es una homología axial . Por lo tanto, considerando el paralelogramo A''B''C''D '' = g (A'B'C'D '), las líneas {AA' ', BB' ',EF de f 'correspondientemente en los puntos {A *, B *, C *, D *} de manera que las relaciones A * A / A * A' '= B * B / B * B' '= ... = D * D / D * D '' = k son todos iguales.

En este caso, la afinidad original f no puede tener un punto fijo . De hecho, si hubiera tal punto fijo O, entonces la línea L _{1 a} través de él paralela a EE 'sería invariante bajo f. Lo mismo sería cierto también para la línea L _{2 a} través de él y paralela a EF. Luego se seguiría que todas las líneas L paralelas a L _{1 también} son variables y esto implicaría que todos los puntos de L ₂ son fijos. Obviamente, la misma propiedad sería válida para el mapa inverso y luego A'B'C'D 'se mapearía f ^-1 en un paralelogramo con líneas (CD, C'D') que coinciden y también líneas (AB, A'B ' ) coincidiendo, por lo tanto {E, F} no existiría.
Pero este fue un supuesto básico desde el comienzo de la discusión. Esta contradicción prueba la afirmación sobre la no existencia de un punto fijo en este caso. 
Observación En este caso, aunque la afinidad tiene dos puntos fijos en el infinito , que coinciden con la dirección del eje y el conjugado, la dirección de la homología axial f '. Por lo tanto, en caso de que la afinidad no tenga puntos fijos ordinarios, tiene al menos dos puntos fijos en el infinito.

 4. El rol de los puntos en el infinito.

La Sección 1 maneja el caso de una afinidad con un solo punto fijo en el plano. La Sección 2 trata el caso de una línea completa que permanece fija (el eje de homología) y un punto en el infinito que permanece fijo (el determinado por la dirección común de todos los segmentos II '). La Sección 3 trata el caso de un solo punto en el infinito que permanece fijo. Este es el punto determinado por la dirección común de los paralelos {EF, E'F '}. Combinando puntos fijos ordinarios y puntos fijos que se encuentran en el infinito, obtenemos dos tipos más de afinidades: los primeros son los que dejan la línea completa al infinito fija, es decir, los que mapean cada línea a una línea paralela (ver la sección 6 a continuación). 
Tales afinidades se llaman dilataciones.([CoxIntro, p. 194], sección 6 a continuación). El segundo tipo son aquellos que tienen un punto fijo ordinario y un segundo punto fijo en el infinito. 
En el último caso, uno puede encontrar fácilmente dos líneas invariantes que pasan a través del punto fijo de la afinidad. Las direcciones de estas líneas representan dos puntos en el infinito que están fijados por f.

De hecho, suponga que la línea L se asigna a una línea paralela L ', de modo que la dirección común de {L, L'} representa el punto en el infinito fijado por la afinidad f. Supongamos también que A es el punto fijo ordinario de la afinidad y dibuje L ₀ paralelo a L a A. Luego, por la invariancia de la dirección de L sigue que L ₀ es invariante bajo f, por lo tanto, un paralelogramo ABCD con lados {AD, BC} situada respectivamente en {L ₀ , L} se asigna a un paralelogramo AB'C'D 'con lados {AD', B'C '} respectivamente en {L ₀, L '}. Luego las líneas {BB ', CC'} se encuentran en un punto E o son paralelas. Suponiendo que las líneas se intersecan en el punto E ordinario, podemos mostrar que la línea AE es invariante bajo f. De hecho, cada punto P en la línea L se asigna a un punto P 'en L', de manera que PP 'pasa a través de E. Esto sigue por la igualdad de relaciones PB / PC = P'B' / P'C '. En particular, el punto de intersección Q de EA con L se asigna al punto de intersección Q 'de EA con L' y esto muestra la invariancia de la línea AE. Esto implica que cada línea paralela a AE se mapea también a una línea paralela a AE, es decir, la dirección de AE ​​representa un segundo punto en el infinito que está fijado por f. 

Observación-1Los puntos fijos en el infinito demuestran un comportamiento diferente al de los puntos ordinarios, con respecto a la línea que definen (la línea en el infinito). De hecho, dos puntos fijos ordinarios definen una línea, que permanece fija en sentido puntual (preservación de relaciones). En contraste, como es el caso aquí, dos puntos fijos en el infinito no implican que toda la línea en el infinito permanezca fija. También tres puntos fijos ordinarios para f implican que más tarde coincide con la identidad. En contraste, como es el caso aquí, dos puntos fijos en el infinito más uno ordinario no implican que f es la identidad. Además, dos puntos fijos ordinarios más un punto en el infinito (definir una homología axial, como en la sección 2) no implican que f coincida con la identidad.

Observación-2 Introduciendo coordenadas a lo largo de los ejes AD, AQ podemos representar f a través de una matriz M de la forma anterior. Su primera representación como producto a la derecha muestra que dicho mapa es la composición de dos homologías axiales (sección-2). De hecho, las matrices simples de la derecha representan obviamente homologías axiales. Como se ve en la representación matricial o en la figura, el producto es conmutativo, es decir, los factores tomados en cualquier orden representan por sus productos la misma afinidad. Los dos factores que representan f como producto son dos cepas vinculadas en el sentido de que el eje de una define la dirección conjugada de la otra . La segunda representación como producto muestra que la afinidad también puede expresarse como el producto de una cepa y una homotecnia.

Observación-3 El mismo comportamiento ocurre cuando las líneas BB 'y CC' son paralelas, es decir, E va al infinito. Luego, la línea AE se vuelve paralela a estas dos líneas y, como en el caso anterior, permanece invariante en la afinidad f.

 5. Dos puntos fijos ordinarios, cizallas.

En el caso de que la afinidad tenga dos puntos fijos ordinarios {A, B}, está completamente determinada por un tercer punto C y su imagen C '. En este caso, todos los puntos de la línea AB permanecen fijos y, además, la línea CC 'permanece invariante en la afinidad. Esto implica que todas las líneas paralelas a CC 'se mapean también a una línea paralela. El caso es idéntico al de la sección 2. Considerando las líneas {IC, I'C '} para un punto arbitrario I y su imagen I', mostramos nuevamente que la relación KI '/ KI es constante e independiente de la posición de I.

Si la afinidad tiene la línea AB fija y mapea un punto C a C ' para que CC' sea paralela a AB , entonces se llama corte ([CoxIntro, p. 203]). En ese caso, lineCC 'permanece invariante bajo f y se sigue fácilmente que todas las líneas paralelas a AB permanecen invariantes bajo la afinidad. Además, se ve fácilmente que en cada línea paralela a AB la afinidad coincide con una traducción. En la siguiente figura, esto es visible por el hecho de que CC 'y II' son segmentos de igual longitud. 
Al tomar los ejes de coordenadas a lo largo de las líneas AB y AC, se puede ver fácilmente que la afinidad se puede representar mediante una matriz simple de la forma:

Obviamente, las cizallas no tienen otros puntos fijos fuera de la línea AB, lo que se denomina su eje . Además de cada par de puntos (C, P), sus imágenes (C ', P') definen las líneas CP y C'P 'que se intersecan en su eje. 
Las afinidades de observación que tienen una línea L que consiste completamente en puntos fijos se denominan afinidades axiales . Por los resultados de esta sección y la sección 2, tales afinidades son deformaciones o cizallas . La diferencia de los dos tipos es la existencia de un punto fijo adicional en el infinito, que para las cepas no se encuentra en la L (extendida), mientras que para las tijeras se encuentra en la L. extendida.

 6. Tres puntos al infinito fijos, dilataciones.

En el caso de que la afinidad tiene tres puntos fijos en el infinito, entonces fija cada punto en el infinito y es una dilatación (sección-4). La siguiente figura ilustra por qué. TriangleABC tiene sus lados paralelos a las tres direcciones determinadas por los tres puntos distinguidos en el infinito. Suponiendo que su imagen-triángulo A'B'C 'tendrá sus lados paralelos a los lados correspondientes de ABC, por lo tanto será (anti) homotético a él (o una traducción de él).

Se deduce que la afinidad original coincide con la (anti) homotecía o traducción que asocia {A, B, C} a {A ', B', C '}. Estos son mapas que corrigen cada punto de la línea en el infinito, de ahí la prueba de la reclamación. 

Observación-1 De ello se deduce que las traducciones se caracterizan por fijar cada punto en el infinito y no tener otros puntos fijos (ordinarios). De manera equivalente, se caracterizan por dejar invariables tres puntos en el infinito y no tener ningún otro punto fijo (ordinario). 
Las homotecias a su vez se caracterizan por tener un único punto fijo ordinario y tres (por lo tanto, todos) puntos fijos en el infinito. 
Observación-2 El conjunto de todas las dilataciones es un grupo.. Así, componiendo dilataciones o tomando inversos obtenemos nuevamente dilataciones. El subconjunto de traducciones es un subgrupo de este grupo. La composición de un homothety y una traducción es en general un homothety. La composición de dos homotheties puede ser homothety, pero en algunos casos (ver Homotheties_Composition.html ) también puede ser una traducción. Por lo tanto, el conjunto de homotecias, al no estar cerrado por la composición, no es un grupo.

 7. ¿No hay puntos fijos en absoluto? (imposible)

Supongamos que la afinidad no tiene puntos fijos (ni ordinarios ni infinitos). Luego deben excluirse los casos de las secciones 1, 2 y 3, ya que en estos casos aparecen puntos fijos. Esto significa que al tomar un paralelogramo ABCD y su imagen A'B'C'D ', los pares de líneas (AB, A'B') y (CD, C'D ') deben ser paralelos, de lo contrario obtendríamos puntos { E, F} como en la sección 1 y retrocede a esos casos. Pero esto muestra que AB y CD definen dos direcciones o puntos en el infinito que están fijados por la afinidad. Una contradicción que demuestra que cada afinidad tiene puntos fijos ordinarios o infinitos .

 8. Dos y un punto fijo al infinito.

Una afinidad que tiene dos puntos fijos en el infinito define dos direcciones de líneas que se asignan a líneas paralelas. Si además hay un punto fijo ordinario, entonces el caso es el descrito en la sección 4 por el producto de dos cepas. Si no hay un punto ordinario fijo, luego tomando cualquier punto O y dos líneas a través de él {L, L '} paralelas a las direcciones fijas y aplicando f a este sistema obtenemos el punto O' = f (O) y las líneas {N = f (L), N '= f (L')} paralelamente correspondiente a {L, L '}. Sea g la traducción que envía O 'de vuelta a O. Luego, la transformación compuesta f' = g * f corrige O y deja líneas invariantes {L, L '}, por lo tanto, en la sección 4, es el producto de dos cepas s ₂ * s ₁ .₂ * s ₁ . 
Si la afinidad tiene solo un punto fijo en el infinito, entonces hay una dirección única de las líneas L, de modo que L '= f (L) es paralela a L. Si la afinidad tiene además un punto fijo aislado, entonces los resultados de la sección Se puede aplicar 4 y mostrar que la afinidad es nuevamente el producto de dos cepas y también hay un punto fijo adicional en el infinito. Esto contradice nuestra suposición, por lo tanto, no hay afinidad con exactamente un punto fijo ordinario y un punto fijo en el infinito .
Si la afinidad tiene exactamente un punto fijo en el infinito y ningún otro punto fijo, tome un punto O y una línea L a través de él en la dirección del punto fijo. Aplicandof encontramos que O '= f (O) y L' = f (L) son paralelos a L. Dejemos que g sea nuevamente la traducción que envía O 'de vuelta a O. La afinidad compuesta f' = g * f deja O fija y línea L invariante, 
por lo tanto , en la sección 4 determina un punto fijo adicional en el infinito, que también es el punto fijo de la f original. Esto contradice nuevamente el supuesto de f, por lo tanto, no hay afinidad con exactamente un punto fijo en el infinito y ningún otro punto fijo .

 9. Resumen

1) Cada afinidad tiene un punto fijo, que es un punto ordinario o un punto en el infinito. Esto significa que cada afinidad tiene un punto fijo ordinario o hay una línea L que se asigna por la afinidad a una línea paralela L '. 
2) Una afinidad con tres puntos ordinarios fijos es la identidad. 
3) Una afinidad con dos puntos ordinarios fijos {A, B} tiene la línea completa AB que consiste en puntos fijos y es una deformación o corte (sección-4, -5), por lo tanto, define también   
    dos / uno puntos fijos adicionales en el infinito . 
4) Una afinidad con un solo punto fijo ordinario, o no tiene otros puntos fijos en el infinito (sección-1) o tiene dos puntos fijos en el infinito (sección-4) o es homotety   
    y deja cada punto en el infinito fijo (sección- 6, dilataciones).
5) Una afinidad sin un punto fijo ordinario y tres puntos fijos en el infinito (por lo tanto, todos los puntos en el infinito fijo) es una traslación. 
6) Una afinidad sin punto fijo ordinario y un punto fijo en el infinito tiene un segundo punto en el infinito y es un producto de dos cepas y una traducción (sección-4). 
7) Una afinidad sin punto fijo ordinario y dos puntos fijos en el infinito es un producto de dos cepas y una traducción (sección-4).

 10. epílogo

Existen numerosos resultados en cuanto a la representación de las afinidades como productos de otras más simples, o la caracterización del tipo de afinidad por su comportamiento en algunos puntos o en algunas líneas. Los siguientes son algunos ejemplos característicos. 
1) Si, para una afinidad dada, cada punto no variante se encuentra en al menos una línea invariante, entonces la afinidad es una dilatación o una cizalla o una tensión ([CoxIntro, p. 203]). 
2) Cualquier traducción o media vuelta (antihomenaje con relación = -1) o cizallamiento se puede expresar como el producto de dos reflexiones afines ([CoxIntro, p. 208]). 
3) Se puede obtener cualquier transformación afín como un producto de una similitud (ver Similarity.html ) y una transformación afín axial (cizallamiento de la tensión, [Nemet, p. 232]).
    Dejo los dos primeros como ejercicios y demuestro la última afirmación. 
    Deje que la afinidad f esté definida por los vértices del triángulo ABC y sus imágenes, que son los vértices del triángulo A * B * C *. Luego considere el 
    lado AB de mapeo de similitud   con A * B * y el triángulo ABC con el triángulo A * B * C ', donde C' = s (C). Además, considere la tensión (o corte) t que fija {A *, B *} y mapea C 'a C *.  
    Obviamente f = t * s (composición), lo que demuestra la afirmación.

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