GEOMETRÍA DINÁMICA

Parábola generada a partir de una línea por afinidad.

Deje que F sea una transformación afín ( afinidad vea Affinity.html ). Bajo ciertas condiciones (ver la Nota-2 en la parte inferior) se puede corresponder a cada línea L del plano una parábola de la siguiente manera: 
[1] La imagen F (L) = L 'también es una línea. Por cada punto X de L la imagen F (X) es un punto de L' y la línea L _X que es la línea que pasa a través de {X, F (X)} es tangente a una parábola c _L . 
Parábola c _L tiene las siguientes propiedades: 
[2] Sea S el punto de contacto de la línea L con la parábola c _L . Entonces S '= F (S) es el punto de intersección de las líneas {L, L' = F (L)}. 
[3] El punto F (F (S)) = S '' es un punto de contacto de c _Lcon linea L '. 
[4] Para cada punto X de la línea L, línea XX ', donde X' = F (X) (X en la línea L ') es tangente a c _L en un punto W que es el conjugado armónico de V con respecto a { X, X '}, donde V es el punto de intersección de XX' con la línea SS ''. Especialmente la T media de 'SS' se asigna a F (T ') = T' 'que es la mitad de SS' 'y la línea Ô'Ô' 'es tangente a la parábola en su T media. 
[5] Triángulo SS'S' 'tiene la parábola c _L tangente a sus lados {S'S, S'S' '} en sus vértices {S, S' '} y es única con esta propiedad. En otras palabras, no hay otro punto R de la misma parábola que tenga el correspondiente triángulo RR'R '' con R '= F (R), R' '= F (F (R)) y líneas {R'R,

Para probar [1], tome los puntos apropiados en L comenzando con el punto de intersección S 'de las líneas L y L'. Debido a la invertibilidad de F, debe haber un punto S en L con F (S) = S '. Sea S '' = F (S ') = F (F (S)). 
Tomando el origen de coordenadas en S 'y los ejes correspondientes, las líneas {L, L'} definen x = S'X y y = S'X '. Usando la propiedad de las afinidades para preservar las relaciones a lo largo de las líneas, vemos fácilmente que una relación de la forma y = ax + b, con las constantes {a, b} es válida. Por lo tanto, [1] resulta al aplicar la propiedad examinada en el archivo ThalesParabola.html .
Las propiedades [2] y [3] resultan fácilmente de la definición de la parábola, como una envolvente, por la cual sus puntos son puntos de intersección limitantes de dos líneas contiguas, como por ejemplo las líneas SS 'y XX', cuando XX 'tiende a coincide con SS '. Obviamente, este punto límite es S. Análogamente, vemos que S '' = F (S ') es un punto de parábola. 
Reclamar [4] resulta de la dualidad de polo polar. Obviamente, SS '' es el polar de S 'con respecto a la parábola y pasa a través de V, por lo tanto, el polar de V pasa también desde S'. Los resultados de la reclamación al proyectar la relación cruzada (X, X ', V, W) en XX' desde S 'en la línea SS' '. 
Para [5] posiblemente haya una prueba más simple. Aquí aplico el teorema de Brianchon (ver Brianchon.html ).
Supongamos que hay dos triángulos SS '' y RR'R '' como se requiere en [5]. Por el teorema mencionado anteriormente, las diagonales del cuadrilátero formado por las tangentes {SS ', S'S' ', RR', R'R ''} y las líneas que unen los puntos de contacto pasan por un punto común O. 

El punto Ï, que es la intersección de {SR, S'R '} se asigna al punto de intersección de las líneas {S'R', S''R ''} que es nuevamente again, por lo tanto, este es un punto fijo de F. Entonces las relaciones SO / OR = S'O / OR '= S''O / OR' 'muestran que las líneas {SS' ', RR' '} son paralelas. Por lo tanto, SS''RR '' es un trapecio y, en el caso de que C _L sea ​​una línea de parábola, S'R 'se une a la parte media de los lados paralelos y es paralela al eje de la parábola. 
El resto de la prueba se desprende de las propiedades de la parábola que circunscribe el trapecio SS''RR '' (ver ParabolaCircumscribingTrapezium.html). Podemos definir la proyectividad F 'exigiéndole que mapee {F' (S) = S ', F' (S ') = S' ', F' (R) = R ', F' (R ') = R ''}. La proyectividad F 'coincide entonces con la afinidad F (considerada como una proyectividad especial) en cuatro puntos {S, S', R, R '} por lo tanto, por las propiedades generales de las proyectividades, los mapas F y F' son idénticos. Pero en la referencia anterior se demuestra que F 'nunca puede ser una afinidad.

 2. Correspondencia de una parábola a un punto.

Sea F una afinidad. Sea también D el conjunto del plano para el cual {×, × ', ×' '} con X' = F (X), X '' = F (X ') no son colineales. El análisis anterior muestra que para cada × de D hay una tangente de parábola en {×, × ''} a las líneas {×× ', ×' '×'}. El análisis muestra que la correspondencia es 1-1, es decir, a diferentes puntos corresponden diferentes parábolas. 
Observación 1: hay afinidades (como reflexiones, traducciones, homotecias) para las cuales D está vacío. 
Nota-2: De hecho, los argumentos anteriores se aplican a los puntos X que se encuentran en el conjunto D. 
Observación-3: La parábola c _L es un caso especial de una cónica generada por el método Chasles-Steiner (consulte Chasles_Steiner.html ).
maneja una generalización del tema por la cual la afinidad es reemplazada por una proyectividad que conduce a cónicas más generales que las parábolas.

Un locus algebraico

Considere un círculo c y un ángulo <(HIJ). Tome un punto M en el círculo c y construya el ángulo <(MKN) igual a <(HIJ). Considere un punto O en MN tal que la relación OM / ON = m permanezca constante. 
Construya P según la receta KP = (KM) * (KN) * (KO) (como números complejos). Luego tome Q en OP de modo que QP / QO = n permanezca constante. 

El lugar geométrico de Q cuando M se mueve en el círculo c es la curva k. 

Cambie a la herramienta "Seleccionar en contorno" (Ctrl + 2) y seleccione el punto de movimiento O (cambiando la relación m). La relación OK / OP permanece fija, la curva k se transforma en una similar. 
Punto de desplazamiento Q en OP (cambiando la relación n). La curva k cambia su forma. Sin embargo, la curva (similitud de módulo) no depende de la medida del ángulo <(JIH). Aunque depende del radio del círculo c.

		Todas las cónicas circunscriben un triángulo + tangente a una línea Problema: para construir todas las cónicas que pasan por tres puntos dados A, B, C y tangentes a una línea e dada, sin separar los puntos.  La solución se puede obtener usando la siguiente propiedad:  Considere una cónica (c) que circunscriba un triángulo t = ABC y tangente a una línea (e) en un punto D. Sea A *, B *, C * los puntos de intersección de La tangente con los lados de t. Sea más E el punto de intersección de AA * y BB *, F el punto de intersección de la cónica con CC *. Luego los puntos D, E, F están en una línea (vea ThreeCollinearPts2.html ).  La propiedad anterior se puede usar para determinar todas las cónicas (c) que pasan por tres puntos A, B, C y tangente a una línea fija e. De hecho, E se determina por los datos dados y D puede tomarse de manera arbitraria, F luego se determina por la intersección de las líneas DE (variable y giro sobre E) y la línea fija CC *. Los cinco puntos {A, B, C, D, F} determinan una única forma cónica. Las cónicas obtenidas de esta manera incluyen las cónicas singulares que consisten en los pares de líneas que se cruzan: (BB *, AC), (AA *, BC), (CC *, AB). Un caso particular ocurre cuando (e) es la línea en el infinito. Luego, la cónica es una parábola (tangente a la línea en el infinito) y CC * es paralela a AB, AA * paralela a BC, etc. Consulte el archivo AllParabolasCircumscribed.html para obtener más información. Tenga en cuenta que la familia de cónicas contiene exactamente tres parábolas, obtenidas cuando D es tal que uno de los siguientes pares de líneas consiste en paralelos: (ED, E'E ''), (E'D, E''E), ( E''D, EE '). Por lo tanto, hay tres parábolas que pasan por tres puntos dados y tangentes a una línea dada. Sus ejes son paralelos a las líneas EE ', E'E' 'y E''E.  Tenga en cuenta que esta construcción se puede hacer considerando cualquiera de los puntos de intersección E, E ', E' 'de las líneas AA *, BB *, CC *, dando, en total, tres puntos adicionales F, F', F '' en la cónica. Las familias de cónicas resultantes, aunque coinciden. Para ver las diversas cónicas circunscritas sobre la captura del triángulo ABC (CTRL + 2) y mover el punto D. El caso de la línea (e) que separa los tres puntos se puede manejar de manera similar y la familia de cónicas resultante consiste solo en hipérbolas (y pares de líneas que se intersectan); consulte la ilustración correspondiente en el archivo AllConicsCircumscribed2.html .  Otro enfoque del mismo tema se puede encontrar en el archivo CircumconicsTangentToLine.html . REEDIRIGIDA POR LA WEB : http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/AllConicsCircumscribed.html