GEOMETRÍA DINÁMICA

Reflexión afín.

Las reflexiones afines representan el tipo más simple de afinidades y también los casos especiales de homologías axiales afines (consulte Affinity.html y Affinity_Fixed_Point.html ). Generalizan las reflexiones euclidianas y se definen dando dos líneas {L, L '}. L se llama eje y L 'es la dirección del conjugado . La transformación correspondiente a menudo denotada por f = (L, L ') se asocia a cada punto P del plano un punto P', de modo que PP 'es paralelo a L' y su M media está en la línea L.

La diferencia con la reflexión euclidiana habitual es que el "espejo" L ahora no es necesariamente ortogonal a la dirección L 'del conjugado. 
Las siguientes propiedades son consecuencias inmediatas de la definición: 
1) Las reflexiones afines dejan todos los puntos del "espejo" L fijo. 
2) Dejan también invariantes todas las líneas L '' paralelas a L '. 
3) Mapean cada línea paralela al espejo L a su paralelo simétrico con respecto a L. 
4) Son mapas involutivos, es decir, su inverso es igual al mapa en sí o f ² = Id (la aplicación del mapa da la identidad dos veces).

 2. Las afinidades involutivas.

La siguiente proposición es una caracterización general de la reflexión afín relacionada con su propiedad (4) anterior. 
Una afinidad involutiva diferente de la identidad F (es decir, que satisface F ² = Id) es una simetría en un punto (a menudo llamada media vuelta ) o una reflexión afín . 

La clave aquí es la consideración de un punto arbitrario X, su imagen X 'y la línea N de estos dos puntos. Obviamente, N es invariante por F y hay dos casos. 
1) Todas las líneas N = XX 'para todos los puntos posibles son paralelas o idénticas. 
2) Hay dos puntos {X, Y} para los cuales XX 'e YY' se intersecan en un punto O.
En ambos casos, la M media de XX 'se asigna a sí misma, ya que M' = F (M) también es un punto de la línea XX 'y por la preservación de las relaciones por afinidades M'X' / M'X = MX / MX '= -1. 
Así, en el primer caso se satisface la definición de la reflexión afín . La línea L 'está determinada por la dirección común de XX' y la línea L está determinada por dos puntos {X, Y} y sus imágenes {X ', Y'} tomando los medios {O, O '} de los segmentos {XX ', YY'} respectivamente. En el segundo caso, O es obviamente un punto fijo de F y es la mitad común de XX 'y YY' por la misma razón que antes.

Por lo tanto, XYX'Y 'es un paralelogramo y, por medio de un argumento de relación, vemos fácilmente que cada punto P de XY se correlaciona con el punto O' simétrico de X'Y '. La prueba se completa mostrando (utilizando de nuevo la preservación de proporciones) que cada punto en OP se asigna a su O-simétrica en OP '.

 3. Traducciones

El producto f ₂ * f ₁ de dos reflexiones f ₁ = (L ₁ , V) y f ₂ = (L ₂ , V) con ejes paralelos L ₁ , L ₂ y la dirección común del conjugado es una traducción, es decir, un mapa definido por a vector fijo v que a cada punto P corresponde P '= P + v .

La prueba sigue de la imagen. F ₁ (A) = B, F ₂ (B) = C implica que AC es el doble de la DE es decir, la distancia de L ₁ , L ₂ en la dirección V . Esto define un vector de dirección constante (la de V) y longitud ( v = AC es un vector libre de longitud y dirección fijas), por lo tanto, muestra la afirmación. 
Observación-1 Observe que el ingrediente relevante en la representación de la traducción como producto de las reflexiones es la dirección del conjugado . De hecho podemos "girar" los dos paralelos {L ₁ , L ₂} a una nueva posición teniendo en cuenta que su distancia en la dirección V permanece igual e igual a la mitad de la medida de v . Luego, la traducción se puede representar nuevamente como un producto de las dos reflexiones con respecto a las dos líneas paralelas en su nueva posición. 
Remark-2 Translations crea un subgrupo del grupo de todas las afinidades del plano. La composición f ₂ * f ₁ de dos traducciones por los vectores v ₁ , v ₂ es la traducción por el vector v ₁ + v ₂.Esto no es así para el conjunto de reflexiones. El producto de dos reflexiones no es una reflexión. La representación anterior de una traducción como producto de dos reflexiones da un contraejemplo.

 4. Tijeras

Las tijeras son productos s = g * f de dos reflexiones afines {f, g} cuyos "espejos" son idénticos. La siguiente figura muestra la imagen s (P) = g (f (P)) de un punto típico P bajo tal composición de transformaciones. La línea L es el espejo común de las dos reflexiones, el segmento AB define la dirección conjugada de f y el segmento BC define la de g.

La observación básica es que el triángulo PP'P "con vértices {P, P '= f (P), P' '= g (P')} tiene ángulos fijos, es decir, los triángulos que resultan para varias posiciones de P son todos similares otro. Por lo tanto, también la dirección de la mediana de MP '' es fija y todos los triángulos PMP '' también son similares entre sí. Esto permite una construcción rápida de P '' una vez que se ha determinado la dirección de la mediana de MP '': 
1) Proyecte P en el primer espejo L a lo largo de la dirección del conjugado L 'de f al punto M. 
2) Dibuje desde M en paralelo a la dirección de la mediana y encuentre su intersección P' 'con el paralelo de P al espejo L .
Los puntos del espejo L quedan fijos por la cizalla. Además, cada paralelo a L queda invariante por la cizalla que, restringida allí, coincide con una traducción. Por lo tanto, si se mueve P en paralelo a L a través de ese punto, se obtiene un punto P '' = s (P), de modo que PP '' es paralelo a L y tiene una medida constante (el doble de MN). 
Observación El producto que representa la cizalla s = g * f no es conmutativo g * f es el inverso de f * g. Esto se deduce de las propiedades elementales del paralelogramo:

 5. Las cepas

Si una afinidad f fija una línea L, entonces es una cizalla o una deformación . Más tarde, la transformación es algo más general que una reflexión afín. Se define dando la línea L y dos puntos {P, f (P)}.

Suponga que PP 'no es paralelo a L y considere el punto de intersección Q de la línea PP' con el eje. Observe primero que la línea PP 'es invariante, es decir, se asigna a sí misma bajo f. Entonces, para cualquier punto X y su imagen X '= f (X) dibuje el paralelo XY a PP' que se interseca con L en Y. Por la preservación de paralelos por afinidades y la constancia de Y sigue esa línea XY se deja invariante por f, por lo tanto, X 'está en XY. Entonces es fácil ver que PX y P'X 'se intersecan en un punto Z de L y X'Y / XY = QP' / QP es constante. Por lo tanto, la imagen X 'se encuentra en este caso por una receta simple: 
1) Dibuje de X un paralelo a PP'. 
2) Tome X 'en este paralelo para que YX' / YX = QP '/ QP, donde Y sea el punto de intersección de XX' con L. 
L se vuelva a llamar el ejede la tensión y la dirección de PP '(o cualquier otra XX') se llama la dirección conjugada de la tensión. La relación constante k = YX '/ YX se denomina relación de la cepa. 
Observación-1 Una reflexión afín es una cepa especial para la cual la relación k = -1. 
Nota-2 El caso excluido en el que PP 'es paralelo a L es el caso de una cizalla (consulte la sección-5 de Affinity_Fixed_Point.html ). De ello se deduce que las únicas transformaciones afines que dejan una única línea L fija son cizallas y deformaciones que tienen L para el eje .

 6. Conjugación por traducciones.

Sea f = (L, V) una reflexión y una traducción ta definidas por el vector v . Entonces la transformación conjugada f '= t * f * t ^-1 es la reflexión 
f' = (t (L), V).

Prueba por imagen. Y = t (X), Y '= t (X') y la correspondencia de Y 'a Y coincide con la reflexión afín sobre t (L). Las direcciones conjugadas de f y f 'son las mismas.

 7. Conjugación por reflexiones.

La siguiente figura muestra la prueba del hecho más fundamental de que el conjugado f '= g * f * g ^-1 = g * f * g de una reflexión por otro es nuevamente una reflexión. La reflexión f se describe 
como f = (L ', V'), g = (L, V) y f '= (L' ', V' ').

La prueba sigue observando que para un punto arbitrario X su imagen C = f (X) la intersección de XC con L y la proyección B de C en L a lo largo de la dirección de V se define un triángulo ABC. Este triángulo tiene un tipo de similitud invariante para todas las posiciones de X, por lo tanto, el triángulo CAD resultante de extender al doble la base CB también tiene un tipo de similitud constante. A continuación, tome D = g (C), X '= g (X) y {M, N}, respectivamente, los medios de {XC, DX'}. Los triángulos MAN resultantes de las distintas posiciones de X son todos similares y sus vértices {A, M} se mueven en las dos líneas fijas {L, L '}, por lo tanto, su otro vértice N también variará en una línea fija L' '. Obviamente, la correspondencia de X 'a D define la reflexión afín f' = (L '', V '') = g * f * g = g * f * g ^-1 .
Dado que las traducciones son producto de dos reflexiones, este resultado implica el resultado de la sección anterior. 
Observación-2 La dirección del conjugado V '' de f 'es el conjugado armónico de AC con respecto al par (AB, AW), donde AW es el paralelo a la dirección V desde A. 
Del mismo modo, el eje L' 'de f' es el conjugado armónico de L 'con respecto al par de líneas (L, OU) más tarde es el paralelo a V de O.

 8. Reflexión y traducción (reflexiones de planeo).

El producto s = t * f de una reflexión y una traducción puede analizarse más a fondo. El análisis depende de la posición relativa de los tres elementos que determinan los dos factores f = (L, V) y el vector de traslación (t). El caso general es aquel para el que estas direcciones son independientes (paralelas a los lados de un triángulo).

Luego, de acuerdo con la sección 3, podemos escribir la traducción t = f '' * f 'como producto de dos reflexiones, donde los ejes de {f', f ''} son paralelos a L. Incluso podemos traducir {L ₁ , L ₂ } para que L ₁coincida con L. Por lo tanto, en este caso, la transformación original s = t * f se puede escribir también en la forma f ₂ * f ₁ * f, donde {f ₁ , f ₂ } tienen la la misma dirección conjugada con la de {f ', f' '} y el eje de f ₁ coincide con la de f.

La figura de arriba muestra la configuración resultante para la representación de s = f ₂ * f ₁ * f y las imágenes de un punto X en las distintas transformaciones. 
                                                            X ₀ = f (X), X '= f ₁ (X ₀ ) = f ₁ (f (X)), X' '= f ₂ (X') = f ₂ (F ₁ (f (X))) = s (X). 
Se verifica fácilmente que, en este caso, la transformación se puede escribir como una composición de la reflexión afín f ₃ = (L ₂ , V), mapeando X a X ₁ y la traducción X ₁a X ''. Esto es paralelo a L ₂ y la longitud X ₁ X '' es constante, ya que el triángulo X ₀ X ₁ X '' es siempre similar a sí mismo y X ₀ X '' tiene la longitud del vector de traducción original. Tales composiciones de una reflexión más una traducción en dirección paralela al eje de reflexión se denominan reflexiones de deslizamiento afín . Estas son sus propiedades 
1) La línea L _{2 se} asigna a sí misma. S restringido a L ₂ coincide con una traducción (por lo tanto, no tiene puntos fijos en L ₂ ). 
2) Cada línea N paralela a L ₂ (o / y L) se asigna a la línea N '₂ . 
3) La transformación s no tiene puntos fijos en absoluto si el vector de traducción no es cero. 
Dos casos especiales para s = t * t surgen cuando (a) t es paralelo a V y (b) t es paralelo a L. (a) En el primer caso, la descomposición previa de la traducción se puede hacer usando f en sí: t = f ₂ * f y el producto final s = f ₂ * f * f = f ₂ es la reflexión sobre L ₂ en la dirección de (t). (b) En el segundo caso nuevamente tenemos una reflexión de planeo afín .

 9. Productos generales de reflexiones.

Como se vio en los ejemplos anteriores, los casos especiales de productos de reflexiones tienen propiedades geométricas interesantes. El estudio de productos más generales de dos o más reflexiones también es un tema interesante que revela varias propiedades geométricas de las transformaciones afines, utilizadas en muchas aplicaciones, especialmente en cuestiones de gráficos de computación. Una referencia general para el estudio de las afinidades y en particular las reflexiones es el libro de Coxeter [CoxIntro, pp. 203]. Una exposición más avanzada se encuentra en [VeblenYoung, II, pág. 109]. Una secuela de esta discusión se encuentra en el archivo Affine_Reflexion.html .


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