GEOMETRÍA DINÁMICA

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Sucesivos arcos poligonales

Considere un pentágono circunscriptible p = ABCDE. Comience con un punto arbitrario F en el lado ED y dibuje arcos, centrados en los vértices y puntos finales en los lados adyacentes, de modo que el punto inicial del siguiente sea el punto final del anterior. La construcción da como resultado un arco-polígono p1 = FGHIJKLMNO, que vuelve al punto de inicio F (arco-polígono-1). En la misma línea, se construye el arco-polígono p2 = PQRST de los puntos de contacto del hexágono circunscriptible con su incírculo (arco-polígono-2). Los dos polígonos de arco están efectivamente cerrados, sus vértices en el mismo lado definen segmentos iguales {PF = PK = GQ = QL = ...}, y los vértices del primer arco-polígono p1 están en un círculo, concéntricos al incircle del pentágono original p.

Las propiedades análogas son válidas para polígonos circunscriptibles con un número par de lados. Para tales polígonos, el arco-polígono p1 correspondiente se cierra después de visitar cada lado una vez y no dos veces como en el caso del número impar de lados. Por lo tanto, el arco-polígono p1 resultante tiene igual número de vértices con el polígono original. Un ejemplo, para un hexágono circunscriptible y sugerencias para las pruebas se dan en SuccessiveArcsHex.html . 

El tema está relacionado con la composición de rotaciones sobre los vértices de un polígono. Los vértices del arco-polígono p1 constituyen una órbita del grupo generado por estas rotaciones. Mire el archivo RotationsOnQuadrangleVertices.html , para una discusión de estos asuntos.

Ruta de arcos sucesivos en un cuadrángulo

Considere un cuadrángulo p = ABCD. Comience con un punto arbitrario E en el lado AD y dibuje arcos, centrados en los vértices y puntos finales en los lados adyacentes, de modo que el punto inicial del siguiente sea el punto final del anterior. La construcción da como resultado un arco-polígono p1 = EFG ..., que se cierra al punto de inicio E (arco-polígono-1) solo en el caso de que p sea circunscriptible en un círculo. El motivo de esto se explica en el archivo RotationsOnQuadrangleVertices.html . Allí se muestra que volver al punto I, en el mismo lado con el punto de inicio E, define un segmento (EI) igual al vector de traducción (v), que representa la composición de las cuatro rotaciones alrededor de los vértices A , B, C y D por los ángulos del cuadrilátero en estos vértices.

El comportamiento análogo muestra los polígonos de arco inscritos en polígonos más generales con más los cuatro lados. La traducción correspondiente (EI) es cero, cuando el polígono es circunscriptible en un círculo. Nuevamente, hay una diferencia entre polígonos par y impar. La discusión para este tema comienza en el archivo SuccessiveArcs.html .

Osculacion en un arco

Para construir un punto que oscila sobre un arco circular. Se debe tener cuidado para que funcione bien incluso en el caso de que el arco sea más grande o más pequeño que un semicírculo.

Círculos de Arquímedes

Considere un círculo (a) y el punto C en un diámetro AB de él. Construya los círculos (b), (c) con diámetros AC y CB respectivamente. Dibuja la línea (f) ortogonal en AB en C. Luego, los círculos (e), (d) que son simultáneamente tangentes a a, b, f y a, c, f respectivamente son congruentes (radios iguales).

Se puede dar una prueba invirtiendo la figura con respecto a un círculo con un radio arbitrario, centrado en C. La prueba se reduce a una propiedad discutida en el archivo InversionProperty.html .