GEOMETRÍA DINÁMICA

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Área del triángulo en baricéntricos

Considere el triángulo de referencia ABC y un segundo DEF, cuyos vértices tienen coordenadas baricéntricas absolutas (ver BarycentricCoordinates.html ) wr a ABC: D (d _x , d _y , d _z ), E (e _x , e _y , e _z ), F (f _x , f _y , f _z ). Indica con (D _x , D _y , D _z ) las coordenadas trilineales correspondientes. Las relaciones básicas entre coordenadas baricéntricas y cartesianas se expresan a través de las relaciones vectoriales: 
                                                          D = d _x * A + d_y * B + d _z * C, 
y fórmulas análogas para E y F. Al escribir estas ecuaciones en forma de matriz obtenemos:

(Ver AreaThroughDet.html ) Tomando determinantes deducimos la fórmula para el área de DEF, en términos de ABC y sus correspondientes barycentrics (absolutos):

Usando la relación básica entre baricéntricos absolutos y trilineales absolutos: 
                                                           e _x = (1/2) * a * E _x / area (ABC):

 Área del pedal triángulo de un punto.

Considere el triángulo de referencia ABC y un punto P. El triángulo pedal de P con respecto a ABC es el triángulo P _a P _b P _c de las proyecciones de P a los lados de ABC (vea Pedal.html ). 
[1] El área del triángulo del pedal es 
área (P _a P _b P _c ) = (R ² - | PO | ² ) * sin (A) * sin (B) * sin (C) / 2 , 
donde R es el circumradius de ABC y O es el circuncentro (R ² - | PO | ² es el poder de P wr para el circumcircle).
[2] Para P moviéndose en círculos concéntricos al circuncírculo, los triángulos del pedal tienen área constante y viceversa. En particular, para P en el circuncírculo, el área correspondiente es cero, los tres puntos de proyección están en la línea Simson de P. 
[3] Denotando por (x, y, z) las coordenadas trilineales de P, y considerándolas con signo (orientado) ) áreas: 
área (P _a P _b P _c ) = (1/2) * (sin (A) * y * z + sin (B) * z * x + sin (C) * x * y)
es una cuadrática Forma en las coordenadas trilineales.

[1] La fórmula sigue extendiendo PC para cortar el circuncírculo de ABC en D y observando ese ángulo (P _c P _a P _b ) = ángulo (DBP). También el ángulo (PDB) es igual al ángulo A del triángulo y según el teorema del seno aplicado al triángulo DBP tenemos: sin (<(DBP)) / | PD | = sin (A) / | PB |. (*) 
Además, dado que AP _b P _c P es cíclico y PA es un diámetro que tenemos | PA | = | P _b P _c | * sin (A) y ecuaciones análogas para los segmentos PB y PC. (**) 
Ahora usando (*) y (**) el área del triángulo del pedal es: 
área (P _a P _b P _c ) = | P _a P _b | * | P_a P _c | * sin (<(P _c P _a P _b )) / 2 = | PC | * sin (C) * | PB | * sin (B) * sin (DBP) / 2 = | PC | * | PD | * sin (A) * sin (B) * sin (C) / 2 
= (R ² - | PO | ² ) * sin (A) * sin (B) * sin (C) / 2. 
[2] Sigue inmediatamente de [1]. 
[3] Sigue dividiendo el área del triángulo en la suma: área (P _a P _b P _c ) = área (PP _b P _c ) + área (P _a PP _c ) + área (P _a P _b P P). 

Observaciones 
[1] La fórmula (1) es válida en general, incluso cuando el punto P está fuera del triángulo, siempre que usemos áreas orientadas. La siguiente figura ilustra la prueba correspondiente. 
[2] Al igualar las expresiones en (1) y (3) obtenemos: 
sin (A) * y * z + sin (B) * z * x + sin (C) * x * y = (R ² - | PO | ² ) * pecado (A) * pecado (B) * pecado (C). <==> 
a * y * z + b * z * x + c * x * y = (R ² - | PO | ² ) * a * b * c / (4 * R ² ). 
Al tomar P en el círculo obtenemos su ecuación en trilineales (ver también CircumcircleInTrilinears.html ). 
[3] La ecuación anterior muestra que la forma cuadrática f (x, y, z) = a * y * z + b * z * x + c * x * y, donde a, b, c denotan las longitudes de los lados del triángulo, es positivo dentro del circuncírculo, cero en el circuncírculo y negativo en el exterior. Tenga en cuenta que (x, y, z) no son independientes, pero satisfacen la ecuación a * x + b * y + c * z = 2 * área (ABC). Los puntos en el infinito satisfacen a * x + b * y + c * z = 0 y caen "muy lejos" del circuncírculo de ABC, donde f es negativo. Esto está de acuerdo con la fórmula para la distancia de dos puntos en trilíneos (consulte la última fórmula en BarycentricsFormulas.html ). 

Área del triángulo en varios sistemas de coordenadas

Usando la subdivisión del triángulo que se muestra, demuestre que el área del triángulo OAB es igual a. 
                              área (AOB) = sin (w) * (x * y'-x '* y) / 2. 
Aquí A (x, y), B (x ', y') son las coordenadas de los puntos con respecto a los ejes oblicuos mostrados, siendo w el ángulo de los ejes de coordenadas. Deducir que la misma área se expresa a través. 
                              área (AOB) = (u '* v-v' * u) / (2 * sin (w)). 
Aquí (u, v) están las coordenadas normales wr a los ejes: es decir, distancias firmadas del punto A de los ejes.

En particular, cuando w = 90 grados, entonces sin (w) = 1 y la fórmula proporciona el área como el determinante de los vectores de columna correspondientes, que representan ahora las coordenadas cartesianas con respecto a estos ejes ortogonales:

Tomando el origen como el tercer punto C de un triángulo y denotando las coordenadas cartesianas con C (c ₁ , c ₂ ), B (b ₁ , b ₂ ), A (a ₁ , a ₂ ) tenemos:

Para un par de fórmulas similares, que dan el área en baricéntricos y trilineales, vea el archivo AreaInBarycentrics.html .

 2. Área del triángulo en varios sistemas de coordenadas

Algunas fórmulas adicionales para polígonos cuyos vértices se expresan en coordenadas ortogonales (Salmon p. 32). Si los vértices del polígono son {(x _i , y _i )}, entonces reagrupa los términos que obtenemos. 
                                     área (P _n ) = (1/2) ((x ₁ y ₂ -x ₂ y ₁ ) + ... + (x _n y ₁ -x ₁ y _n )). 
                                     área (P _n ) = (1/2) (x ₁ (y ₂ -y _n ) + x ₂ (y ₃ -y ₁) + ... + x _n (y ₁ -y _n-1 )). 
                                     área (P _n ) = (1/2) (y ₁ (x _n -x ₂ ) + y ₂ (x ₁ -x ₃ ) + ... + y _n (x _n-1 -x ₁ )). 
El área del triángulo ABC delimitado por las líneas (consulte ThreeLines.html ). 
                                                ax + by + c = 0, a'x + b'y + c '= 0, a''x + b''y + c' '= 0.