GEOMETRÍA DINÁMICA

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 Arbelos (cuchillo del zapatero)

Esta es la figura ABC de tres semicírculos de pares tangentes, cuyos centros son colineales. La siguiente imagen muestra los círculos completos con diámetros AB (O ₂ , r ₂ ), AC (O ₁ , r ₁ ), CB. 
Ejercicio: Construir un arbelos ABC, lleno de una cadena de círculos sucesivamente tangentes. 
1) Construya una banda de círculos sucesivamente tangentes, que también sean tangentes a dos paralelos e1, e2, a través de B y C. 
2) Invierta esta banda, con respecto al círculo c, con el centro A y ortogonal al círculo con diámetro BC . 

La inversión transforma las dos líneas en los dos círculos con diámetros AB y AC respectivamente.
La familia de círculos iguales, entre las dos líneas, se transforma en la cadena de círculos que llenan los arbelos. 
Cuente los círculos inscritos c ₀ , c ₁ , c ₂ , c ₃ , ..., comenzando con la base c ₀ (semicírculo en BC). 
Un teorema de Steiner (en realidad de Pappus , Steiner dio una prueba más simple, basada en la inversión y usando esta figura) dice que la distancia d _n del centro de c _n , desde la línea AB es 
d _n = 2 * n * r _n , donde r _n el radio de c _n . 

[Steiner, Werke Bd I, pp. 47-51]

Cambie a la [herramienta de selección de contorno] (CTRL + 2). Capturar y mover el punto C. 
Demuestre que los centros de los círculos c _i están en una elipse f con focos en O ₁ , O ₂ y el eje mayor 2 * a = r ₁ + r ₂ . 
Demuestre que c, e ₁ y el círculo con diámetro AB se intersecan en los mismos puntos (D y su reflexión sobre AB). 
Vea el archivo WooConstruction.html para conocer algunas formas elegantes de construir el primer círculo c ₁ .

		Arcos sucesivos en triángulos Considere un triángulo t = (ABC). Comience con un punto arbitrario D en el lado AC y dibuje arcos, centrados en los vértices y puntos finales en los lados adyacentes, de modo que el punto inicial del siguiente sea el punto final del anterior. La construcción da como resultado un arco-polígono p1 = (DEGIKM), que vuelve al punto de inicio G (arco-polígono-1).  En la misma línea, se construye el arco-polígono p2 = PNO de los puntos de contacto con el incírculo del triángulo t. Los dos polígonos de arco están efectivamente cerrados, sus vértices en el mismo lado definen segmentos iguales: {DP = EN = OG = PI = ...}, y los vértices del primer arco-polígono p1 están en un círculo, concéntricos a la incircle de t. El triángulo t2 = QRS, formado por las diagonales del arco-polígono p1 es anti-homotético al triángulo t3 = NOP, formado por los puntos de contacto del triángulo t con su incircle. El centro de homothety es el punto Gergonne U de t. Busque en SuccessiveArcsHex.html un teorema similar sobre hexágonos circunscriptibles y sugerencias para las pruebas. La proposición puede generalizarse a polígonos circunscritos con un número impar arbitrario, n = 2m + 1, de lados. El procedimiento correspondiente de arcos sucesivos produce un polígono de arco de 2 lados, inscrito en un círculo, cuyo circuncírculo es concéntrico con el incircle del n-gon original. Se puede ver un ejemplo en SuccessiveArcsPenta.html . Arco-polígono hexagonal Considere un hexágono circunscriptible p = ABCDEF. Comience con un punto arbitrario G en el lado EF y dibuje arcos, centrados en los vértices y puntos finales en los lados adyacentes, de modo que el punto inicial del siguiente sea el punto final del anterior. La construcción da como resultado un arco-polígono p1 = GJKNOR, que vuelve al punto de inicio G (arco-polígono-1).  En la misma línea, se construye el arco-polígono p2 = HILMPQ de los puntos de contacto del hexágono circunscriptible con su incírculo (arco-polígono-2).  Los dos polígonos de arco están realmente cerrados, sus vértices en el mismo lado definen segmentos iguales, y los vértices del primer arco-polígono p1 están en un círculo, concéntricos al incircle del polígono original p. El arco-polígono p2, de los puntos de contacto del hexágono circunscriptible con su incírculo (arco-polígono-2) está obviamente cerrado, ya que las tangentes de un punto a un círculo son iguales. Los segmentos, {HG, IJ, LK, ...} son iguales, ya que están definidos por pares mediante círculos concéntricos. El primer arco-polígono p1 es, entonces, fácilmente visible, para ser cerrado. Como los segmentos iguales, mencionados anteriormente, también son tangentes al incircle, sus puntos finales, que son los vértices de p1, están en un círculo concéntrico al incircle del polígono original. Para una continuación de la discusión, mira el archivo SuccessiveArcsHex2.html . El tema está relacionado con la composición de rotaciones sobre los vértices de un polígono. Los vértices del arco-polígono p1 constituyen una órbita del grupo generado por estas rotaciones. Mire el archivo RotationsOnQuadrangleVertices.html , para una discusión de estos asuntos.