domingo, 9 de diciembre de 2018

GEOMETRÍA DINÁMICA

REEDIRIGIDA PORLA GRAN WEB : http://users.math.uoc.gr


Puntos de Brocard (2)

Esta es la construcción típica del [primer] punto de Brocard del triángulo ABC: tome la orientación A-> B-> C y dibuje los círculos {ABD} tangente en BC, {BCD} tangente a CA y {CAD} tangente a AB . Se intersecan en un punto común D. Este es el primer punto de Brocard de ABC (ver Brocard.html ). Consideremos ahora el triángulo HIJ, que tiene como vértices los centros de los círculos anteriores. Es similar al triángulo original ABC y tiene el mismo primer punto Brocard D con ABC. El circuncentro O de ABC es el segundo punto de Brocard de HIJ. O es también el punto simmedio del triángulo KLM, similar a ABC, cuyos vértices son los puntos de intersección de las ortogonales MB a BC, KA a AB y JC a AC. 


[0_0][0_1]
[1_0][1_1]
[2_0][2_1]


Los triángulos ABC y HIJ se pueden considerar como casos particulares de un triángulo SQP, girando alrededor del primer punto Brocard de MKL. Todos estos triángulos son similares entre sí y a MKL. De hecho, esta es una propiedad básica de los puntos Brocard: Sus triángulos [pedal] son ​​similares al triángulo original. El triángulo ABC se caracteriza por tener sus lados ortogonales a los de MKL. HIJ se caracteriza por tener sus vértices en el medio de los segmentos CL, BM y AK. La cuestión de cuándo tres puntos SPQ en los lados de un triángulo MKL, definir un triángulo similar a MKL, girando alrededor de su primer punto Brocard, así como otra instancia particular de un triángulo pivotante se trata en el archivo BrocardPivot.html .

En la figura sobre la línea OD '' está el lugar de los segundos puntos Brocard D 'de los triángulos pivotales. Pasa a través del punto simmediano O (y circuncentro de ABC) de MKL y su segundo punto de Brocard D ''. La discusión sobre los pivotes se inicializa en Pivot.html .













Elipse de brocard

La elipse de Brocard es la cónica simultáneamente tangente a los lados del triángulo ABC y los lados del triángulo A'B'C ', que resulta de las intercepciones de los simmedios de ABC con su circuncírculo. Los dos triángulos ABC y A'B'C 'comparten el mismo punto simmediano K, eje Brocard, eje Lemoine, puntos Brocard, puntos isodinámicos, etc. Las líneas que unen los vértices opuestos del hexágono tangencial, formadas por los lados de los dos triángulos pasan a través de K. 
Todas estas propiedades se siguen de forma trivial considerando la proyectividad F que mapea los vértices de un equilátero A 0 B 0 C 0 a los vértices correspondientes de ABC y el centro del equilátero al punto simmedio K del triángulo.
F mapea el circuncírculo del equilátero con el circuncírculo del triángulo ABC. 
F mas también el incircle del equilátero a la elipse de Brocard de ABC. 
La antípoda de A 0 B 0 C 0 se mapea por F al triángulo A'B'C '. Un hecho a partir del cual se siguen las declaraciones sobre la coincidencia de varias características geométricas de los triángulos ABC y A'B'C '.

[0_0][0_1][0_2][0_3]
[1_0][1_1][1_2][1_3]

Observe la concurrencia de las cuatro líneas: tangentes en vértices opuestos y lados opuestos (extendidos) en los mismos puntos del eje Lemoine. Esto se deduce de las propiedades correspondientes de las pre-imágenes de estas líneas bajo la proyectividad F y el hecho de que F mapea la línea en el infinito al eje de Lemoine del triángulo. 
Esta es una revisión preliminar de un tema rico en contenido que se tratará con más detalle en un momento posterior.















Brocard pivotante

Considere un punto Brocard J del triángulo ABC, caracterizado por la igualdad de los ángulos ang (BAJ), ang (CBJ), ang (ACJ) (ver Brocard.html ). Tome un punto D en BC y construya el círculo c1 = {DBJ} cortando AB en E, luego el círculo c2 = {AEJ} cortando AC en F, luego circule c3 = {FCJ}. Los siguientes hechos son verdaderos y fáciles de probar: 
(1) c3 pasa por D. 
(2) ang (JDB) = ang (JFC) = ang (JEA) y los triángulos JDB, JEA y JFB son similares. 
(3) el triángulo DEF es similar a ABC para todas las posiciones de D en la línea BC. 
(4) ang (BDF) = ang (CFE) = ang (AED). 
(5) J es también un punto de Brocard del triángulo DEF (ang (DEJ) = ang (FDJ) = ang (EFJ)). 
(6) las razones (| AD |: | BF |: | CE |) son iguales a ((c / b) :( a / c) :( b / a)), coordenadas trilineales de J. Igualdad de relaciones posterior es una condición necesaria y suficiente para tres puntos D, E, F en los lados de ABC, para definir un triángulo DEF, que es similar a ABC y pivotal, con respecto al primer punto de Brocard.

[0_0][0_1][0_2]
[1_0][1_1][1_2]
[2_0][2_1][2_2]


Para una buena aplicación de la última (6) propiedad en un triángulo pivotal particular, relacionado con las altitudes de ABC, mire el archivo Yagci.html .

No hay comentarios:

Publicar un comentario