GEOMETRÍA DINÁMICA

 Conjugación de dos puntos / líneas.

Dado un círculo (c), se dice que dos puntos {X, Y} están conjugados con respecto a (c) cuando el polar de uno pasa a través del otro. Esta es una relación simétrica y si la restringimos en una línea arbitraria (e), define una homografía involutiva en la línea Y = F (X) (consulte HomographicRelation.html ). 
De manera análoga, se define la conjugación de dos líneas: se dice que dos líneas {x, y} están conjugadas con respecto al círculo (c), cuando cada una pasa desde el polo de la otra.

La simetría de la relación se debe a la reciprocidad de los polos-polares: si Y está en el polar de X, entonces también X está en el polar de Y. Si X 'es la proyección de X en su polar p _X , triángulo XX 'Y tiene un ángulo recto en X' y {X, X '} son inversos (ver Inversion.html ) con respecto al círculo (c). 
De esto se deduce que todos los círculos con diámetro XY son ortogonales a (c) y que también son ortogonales a la línea (e) pertenecen al haz de círculos (II) que es ortogonal al haz de círculos (I) generado por {c, e} . 
El tipo de círculo-haz (II) depende de la posición de la línea (e) con respecto al círculo c.
[1] Si la línea (e) no se cruza con el círculo c, entonces el paquete (II) es de tipo intersección. Todos los círculos de (II) pasan a través de dos puntos fijos {E ', E' '} en la línea ortogonal a (e) a través del centro O del círculo. Esta línea es el eje radical común de todos los círculos del haz (II). Los puntos {E ', E' '} son conjugados armónicos con respecto a {O, E}, siendo E el polo de (e). 
En este caso, la involución F no tiene puntos fijos en la línea (e). 
[2] Si la línea (e) intersecta el círculo (c), entonces el paquete (II) es de tipo no intersecante con puntos límite los puntos de intersección {X ₀ , X ₁ } del círculo (c) con la línea (e) . 
En este caso, la involución F tiene dos puntos fijos en la línea (e) que son precisamente {X ₀ , X ₁}.

 2. Conjugación con respecto a una cónica.

Dado que la idea de polarizar de forma natural a una cónica puede repetir la definición en este contexto más general y definir la conjugación de puntos con respecto a una cónica: se dice que dos puntos {X, Y} están conjugados con respecto a una cónica, si El polar de uno pasa a través del otro. Nuevamente la relación es simétrica y define una homografía involutiva Y = F (X) en los puntos de la línea e. 
La definición de línea-conjugación puede transferirse también textualmente a este caso general.

La figura básica anterior muestra dos puntos {X, Y} en la línea (e) conjugada con respecto a una cónica. El punto E es el polo de (e) y las líneas {Y'Y '', X'X ''} son respectivamente los polares de {X, Y}. Por el teorema de Pascal, los lados opuestos del cuadrángulo X'Y'X''Y '' se intersecan en dos puntos {Z, Z '} que están en (e) y también están relacionados por la relación homográfica Z' = F (Z). Además de {Z, Z '} están conjugados armónicos con respecto a {X, Y}.
Las declaraciones anteriores en el haz de círculos (II) de círculos con diámetros XY se transfieren casi sin cambios a este caso. La figura general se puede transformar mediante una proyectividad apropiada a un círculo (c ') y una línea (e'), conservando la relación de homografía, obtenemos también un mapa del paquete (II) aquí al paquete correspondiente de {c ', e'}. Concluimos que el haz de círculos en el presente caso general es de tipo intersecante o no intersecante en función de la posición de la línea e a la cónica c: 
[1] Si la línea (e) no intersecta la cónica, entonces la El paquete (II) de círculos con diámetros XY es de tipo intersecante. Todos los círculos pasan a través de dos puntos fijos {E ', E' '}, que se pueden construir explícitamente a partir de los datos.

[2] Si la línea (e) intersecta la cónica (c) en dos puntos {X ₀ , X ₁ }, entonces el haz circular (II) es de tipo no intersecante y tiene estos dos puntos como puntos límite. Los mismos puntos son también puntos fijos de la transformación involutiva F.

 3. El tipo de intersección.

Aquí hay algunos comentarios sobre el caso [1] de la sección anterior. En este caso, la línea (e) no corta la cónica y el haz (II) de círculos con diámetros XY es de tipo intersección. Todos los círculos pasan por dos puntos {E ', E' '} que son simétricos con respecto a (e) y se pueden determinar a partir del par {c, e}.

[1] Debido a que {Z, Z '} son conjugados armónicos con {X, Y}, el centro del círculo c _X con diámetro XY nunca coincide con Z, excepto en el caso en que ZY = ZX, en el cual, por la conjugación armónica Z 'cae al infinito, por lo tanto, Z'E, que es el polar de Z, se vuelve paralelo a e. 
[2] La posición anterior del centro del círculo es, por lo tanto, el polo Z ₀ de la línea e 'a través de E y paralelo a (e). 
[3] Otro círculo interesante del círculo-paquete (II) resulta cuando X obtiene la posición de Z ₀ . Esto corresponde a un intercambio de los roles de (X, Y) y (Z, Z ') y representa el caso en el que Y está en el infinito, {Z, Z'} son simétricos con respecto a X y el círculo c _X es un línea a través de Z ₀ .
[4] Los argumentos anteriores muestran que Z ₀ es la traza en (e) del eje radical común de todos los círculos del haz, por lo tanto, la línea que representa {E ', E' '}. Los puntos se pueden determinar fácilmente a partir de la constancia del producto Z ₀ X * Z ₀ Y. 
[5] Los puntos {E ', E' '} también pueden construirse geométricamente al notar la relación de pares de puntos {Z, Z '} y {X, Y} en la figura de la sección 2. Es decir, un par está definido por las diagonales de un cuadrángulo inscrito en la cónica, mientras que el otro está definido por los puntos comunes de pares de lados opuestos. Aplicando este comentario al par que consiste en Z ₀ y el punto en el infinito de la línea e, encontramos los otros puntos {X ₀ , Y ₀} simétrico con respecto a Z _{0 a} través de la figura fácilmente construible que se muestra. 
[6] De lo que se ha dicho {E ₁ , E ₂ } son los puntos de contacto de las tangentes a c que son paralelos a la línea (e). Así, la línea E ₁ E ₂ pasa por el centro de la cónica (si existe).

 4. Diámetros conjugados en cónicas centrales.

La última observación de la sección anterior es crucial para considerar las cónicas centrales y permitir que la línea (e) se mueva paralela a sí misma. Los puntos {E ₁ , E ₂ } permanecen fijos mientras que si la línea (e) se mueve al infinito, su polo E tiende al centro de la cónica. En ese caso, los puntos {Z ₁ , Z ₂ } tienden a las extremidades del diámetro que se conjuga con el diámetro E ₁ E ₂ de la cónica y también paralela a la línea e. En el límite, cuando se identifica con la línea en el infinito, la involución F se convierte en la conjugación habitual de los diámetros de la cónica.

Para estudiar esta involución (de la conjugación de diámetros en una cónica central) identificamos la línea en el infinito con el lápiz O * de las líneas a través de O. Luego nuestra involución se convierte en una involución de este lápiz y se puede estudiar tomando las huellas X, Y , ... de líneas a través de O en una línea fija e. Esta nueva involución se asocia a cada punto X de la línea (e) un punto Y tal que {OX, OY} son diámetros conjugados de la cónica. De nuevo, hay un par asociado de puntos conjugados {Z, Z '} a {X, Y} procedentes de los diámetros paralelos a los lados del paralelogramo con diagonales a lo largo de {OX, OY}. Mediante argumentos análogos como en la sección anterior, podemos identificar los puntos comunes del haz de círculos de los círculos c _{X que} tienen un diámetro XY. 
[1] Z ₀es, como antes, el punto de intersección de la línea OE con la línea (e). E siendo de nuevo el polo de (e). 
[2] Los puntos {X ₀ , Y ₀ } que identifican el círculo mínimo del haz (II) son la intersección con dos diámetros a lo largo de las líneas {OX ₀ , OY ₀ } que son paralelos a los lados del paralelogramo inscrito en la cónica y que tienen diagonales a lo largo de las líneas OZ ₀ y el paralelo (e ') a (e) a través de O.

 5. Diámetros ortogonales

La sección anterior entrega una receta mediante la cual podemos determinar los dos diámetros ortogonales entre sí de una cónica central (a lo largo de las líneas {OX ₁ , OY ₁ } en la siguiente figura).

[1] Tome una línea (e) que no se interseca con la cónica y considere su polo E. 
[2] Encuentre el punto Z ₀ intersectando (e) con la línea OE (O centro de la cónica). 
[3] Encuentre los puntos {X ₀ , Y ₀ } construyendo el paralelogramo con diagonales a lo largo de las líneas OZ ₀ , y el paralelo (e ') a (e) a O. Luego, proyecte O paralelo a los lados del paralelogramo en la línea (e ). 
[4] Determine los puntos {E ', E' '} del círculo c ₀ con diámetro X ₀ Y ₀ . 
[5] Dibuja el círculo c ₁ que pasa a través de los puntos {O, E ', E' '}. Este círculo determina a través de sus intersecciones {X ₁ , Y ₁} con la línea (e) las dos direcciones ortogonales conjugadas de la cónica.

Un problema en los ángulos inscritos.

Dados dos círculos a, b, que se intersecan en D y F. Considere el punto C que se mueve en b. Demuestre que el acorde AB tiene una longitud constante. Demuestre que la proyección G, de A en BC describe un círculo tangente a b.

Demuestre que, cuando C se mueve en el círculo b, luego para el triángulo ABC: 
1) Su centroide describe un círculo. 
2) Su circucentro describe un círculo concéntrico con un círculo a. 
3) El punto de intersección de ÁÅ, ÂD describe un círculo, pasando por D y E. 
4) El ortocentro describe un círculo concéntrico con el círculo b.