GEOMETRÍA DINÁMICA

 Dominio de convexidad para cuadriláteros (entero)

Considere un cuadrángulo convexo p = (BCDE) y un punto A (no necesariamente dentro de él). Construye el cuadrángulo q = (FGIH), teniendo como vértices las reflexiones de A en los lados de p. El problema es encontrar el dominio de convexidad de q. Esto significa encontrar todas las ubicaciones para A, para las cuales el q resultante es convexo. 
En la figura, la región de convexidad es la región marrón, delimitada por cuatro arcos de círculos BCDEB, que pasa a través de los vértices del cuadrángulo. Los arcos son partes de los cuatro círculos que circunscriben los cuatro triángulos formados por las prolongaciones de los lados del cuadrángulo. Cuando A está en uno de estos arcos, en BC dice, entonces las reflexiones de A en los lados del triángulo BCK están en una línea (la línea de Steiner pasa a través del ortocentro correspondiente, paralela a la línea Simson de A wr a BCK). 
MirarDomain_of_Convexity_quad.html , para una figura relacionada, relativa a los puntos A restringidos dentro de p. La generalización para polígonos (convexos) con más de cuatro lados es obvia. 
Por cierto, cuando A coincide con el punto M, el punto Miquel del cuadrángulo, luego q degenera en un segmento de línea que contiene los cuatro ortocentros de los circuncírculos. El problema establece una relación de tres sujetos diferentes, aparentemente no relacionados: (a) Convexidad, (b) Puntos Miquel, (c) Líneas Simson.

Coordenadas oblicuas / normales

Aquí hay algunas relaciones básicas entre coordenadas oblicuas / normales, longitudes y áreas. (x, y) denota las coordenadas normales, resultando proyectando ortogonalmente a los ejes. (x ', y') denota las coordenadas oblicuas, resultantes de la proyección paralela a los ejes (para la última fórmula, consulte AreaThroughDet.html ).

Consulte el archivo AreaOfPedal.html para ver una buena aplicación de (2), que expresa la otra diagonal del cuadrilátero cíclico, cuya diagonal es el diámetro del circuncírculo. Esto se usa también en la discusión sobre pedales: Pedal.html .

 Transformación de coordenadas

Dado un sistema de líneas que se cruzan {OX, OY} y dos direcciones {a, b}, hay un sistema de coordenadas definido al proyectar un punto arbitrario P sobre {OX, OY} a los puntos {P _x , P _y }, de manera tal que { PP _x , PP _y } son respectivamente paralelos a {a, b}. 
Dibuje entonces de {P _x , P _y } paralelos a {OY, OX} respectivamente que se intersecan en P '. La medición de las posiciones de {P _x , P _y } en los ejes con un par de números (x, y) define: 
(i) el sistema de coordenadas relacionado con [a, b] , para el que P se identifica con (x, y ). 
(ii) el paralelo(a los ejes) sistema de coordenadas, para el cual P 'se identifica con (x, y). 
Estudiar las relaciones entre los dos sistemas de coordenadas, así como la transformación F que envía P a P '.

[1] Para encontrar las relaciones entre los dos sistemas de coordenadas, aplique el teorema de seno a los dos triángulos con lados {PP _x , y '} y {PP _y , x'} respectivamente:

Esto, estableciendo b _y = sin (b, OY), b _x = sin (b, OX), a _x = sin (a, OX) y a _y = sin (a, OY) conduce a las siguientes relaciones lineales entre coordenadas:

En estas ecuaciones A = a _y / a _x y B = b _x / b _y . En estas ecuaciones (x, y) expresan las coordenadas relacionadas con [a, b] y (x ', y') expresan las coordenadas paralelas de (el mismo) punto P. 
[2] Transformación P '= F (P), expresado en coordenadas paralelas (x ', y'), tiene la misma expresión, ya que las coordenadas (x '', y '') de P 'son las mismas (x, y) que las de P en la [a, b Sistema relacionado con], que está relacionado con el (x ', y') de P a través de la fórmula anterior. Así, F en el sistema de coordenadas paralelo se expresa a través de:

Esto muestra que F (P) = P 'es un mapeo afín con un punto fijo O. En particular, mapea líneas en líneas. La imagen de arriba muestra cómo determinar la imagen e '= F (e) de una línea bajo esta transformación: (i) Dibuja paralelos a {a, b} desde O para encontrar sus intersecciones {a _e , b _e } con la línea e . (ii) Dibuje paralelos a {b, a} de {a _e , b _e } para encontrar sus intersecciones {e _y , e _x } con las líneas {OY, OX} respectivamente. La línea e 'pasa a través de e _x , e _y . 


Observaciones
[1] Hay dos líneas (amarillas) a través de O, que son simultáneamente conjugados armónicos con respecto a los pares de líneas {OX, OY} y {Ob _e , Oa_e }. Estos corresponden a los vectores propios de la matriz que representa F y se caracterizan por el hecho de que la línea PP 'pasa a través de O, es decir, son invariantes con respecto a F. 
[2] Las líneas PP' sobre una parábola. Esto se deduce de las consideraciones generales relacionadas con la envolvente de líneas que unen dos puntos relacionados por una relación homográfica (consulte Chasles_Steiner_Envelope.html ). El hecho de que la cónica sea una parábola se debe a que F es una afinidad (consulte AffinityGeneratedParabola.html ). También se puede verificar directamente demostrando que solo tiene un punto en el infinito. 
[3] Obviamente hay una preferencia en el uso de coordenadas {OX, OY}. Se podrían considerar dos sistemas de coordenadas paralelas y extender {PP_x , PP _y } hasta que recorten los ejes respectivos {Ob _e , Oa _e } y hagan la misma investigación ahora entre dos sistemas paralelos . Esto se discute en CoordinatesTransform2.html .