GEOMETRÍA DINÁMICA

Todas las cónicas circunscriben un triángulo + tangente a una línea

Problema: para construir todas las cónicas que pasan por tres puntos dados A, B, C y tangentes a una línea dada e, la línea que separa los puntos. 
Aquí está la ilustración de la solución discutida en AllConicsCircumscribed.html , para el caso de la línea (e) que no separa los puntos. Allí las soluciones son cónicas de todo tipo, mientras que aquí solo aparecen las hiperbolas en la familia. 
Los miembros de la familia de las cónicas están determinados por la posición del punto D (punto de contacto) en la línea e. Capturar y mover (CTRL + 2) D para ver los distintos miembros de la familia. La familia contiene nuevamente tres miembros singulares (pares de líneas que se cruzan (AB, CC *), (BC, AA *), (CA, BB *), que se obtienen cuando D coincide con C *, A *, B *.

Consideremos un triángulo ABC inscrito en una cónica. Luego, los puntos de intersección de pares de líneas que constan de un lado (fe BC) y la tangente al vértice opuesto (fe A) se intersecan en tres puntos A *, B *, C * que están en la misma línea e. e coincide con el polo trilineal del punto E con respecto al triángulo ABC, siendo E el polo de e wr a la cónica (consulte PascalOnTriangles.html ). Esto implica que todas las cónicas que circunscriben el triángulo fijo ABC están parametrizadas por la ubicación del punto correspondiente E. Además, la cónica se puede construir inmediatamente utilizando una proyectividad. Para entender el argumento, considere primero una cónica circunscrita y el punto E y la línea e correspondientes, como se describe en la referencia anterior. Luego arregla un triángulo equilátero A'B'C 'y su centro E'. Existe una proyectividad única H: mapeo A, B, C, E respectivamente a A ', B', C ', E'. Teniendo en cuenta la tétrada armónica (BCA * A '') y su imagen debajo de H, se ve que la línea e se correlaciona con H en la línea en el infinito y A '' en la mitad de B'C 'y la cónica misma se mapea en el circuncírculo de A B C'. Se deduce que cada ABC circunscrito cónico puede obtenerse a través de la proyectividad inversa F = H -1 y la imagen F (c) del circuncírculo de A'B'C '. Un caso particular representa el circuncírculo del triángulo ABC. La E correspondiente es el punto simmedio y e el eje Lemoine del triángulo. Otro caso de interés es la circumellipse de Steiner. Para obtener esta cónica, se identifica E con el centroide (punto de intersección de las medianas) de ABC.  Al considerar la composición G = F '* F -1 de dos de estas proyecciones, se puede evitar el uso del equilátero. Este método para definir la circunferencia de un triángulo se describe en TriangleCircumconics.html . Todas las parábolas circunscritas sobre un triángulo. Problema: construir todas las parábolas que pasan por tres puntos A, B, C dados.  La solución se puede obtener de una manera muy simple y estructural usando la propiedad del triángulo anticomplementario A'B'C 'relacionado con el eje de la parábola discutido en AnticomplementaryAndCircumparabola.html .  Allí se demostró que los paralelos al eje de una circumparabola de ABC desde los vértices del triángulo anticomplementario A'B'C 'se encuentran con los lados opuestos de A'B'C' en la parábola.  Por lo tanto, tomando un punto de giro D en el circuncírculo y definiendo la dirección del eje a través de la línea OD (O el circuncentro de ABC), obtenemos todas las circumparabolas de ABC al determinar tres puntos adicionales {A '', B '', C '' {A '', B '', C ''} son respectivamente los puntos de intersección de los paralelos a la línea OD desde los vértices {A ', B', C '} con los lados opuestos de este triángulo. Teniendo seis puntos en la parábola, podemos dibujarla con la herramienta dibujando una cónica en cinco puntos (seleccionando cinco de ellos). Para otra forma de generar una circumparabola ver el archivo CircumparabolaGeneration.html .  Tenga en cuenta que hay tres direcciones particulares de OD para las cuales la parábola degenera en un par de líneas paralelas. Esto ocurre cuando OD es paralelo a los lados del triángulo. Por ejemplo, en el caso de que la OD tiende a ser paralela a AB, los puntos {A, B, C ''} y {A '', B '', C} se vuelven correspondientemente colineales, las dos líneas que las soportan son la línea AB y su paralelo de C.  Nota-1 La figura muestra también el lugar del perspector correspondientede la circunparábola. Es la elipse de Steiner interior del triángulo ABC. Por cierto, menciono aquí el papel estructural de la elipse de Steiner de un triángulo. Para los perspectores en esta elipse, la cónica correspondiente es una parábola. Los perspectores ubicados dentro de la elipse producen elipsis y los perspectores ubicados fuera de esta elipse corresponden a hipérbolas.  Observación-2 Aquí hay varias propiedades adicionales como, por ejemplo, la tangencia de la parábola a la línea en el infinito, que a su vez es el polar trilineal de G, el centroide del triángulo. La generalización de todas estas propiedades se describe en una configuración más general en el archivo CircumconicsTangentToLine.html .  2. Parábolas por cuatro puntos. Dados cuatro puntos {A, B, C, D} en posición general, podemos usar la construcción anterior para explorar la existencia de parábolas que pasan por estos puntos. Para esto, considere el conjunto S de todas las parábolas a través de {A, B, C} y determine las ubicaciones de D para las cuales hay una parábola en S que pasa a través de D. Es fácil ver que cada parábola que pasa por {A, B, C} no tiene puntos dentro de los dominios angulares indicados anteriormente. Por lo tanto, (i) para cada punto D 0 que se encuentra en estos dominios no hay parábola que pase por {A, B, C, D 0 }, (ii) para cada punto D 2 en el complemento abierto de estos dominios, siempre hay dos parábolas pasando por {A, B, C, D 2 }.  Con respecto a la existencia de estas parábolas, se puede aplicar la teoría general de las cónicas que pasan por cuatro puntos y tangente a una línea dada (consulte FourPtsAndTangent.html ). La línea en el presente caso es la línea en el infinito.  Observación La condición sobre la existencia de parábolas, a través de los cuatro puntos mencionados anteriormente utilizando los dominios indicados, es equivalente a la existencia de un cuadrángulo convexo con vértices {A, B, C, D}.  3. Parábolas a través de cuatro puntos, sus ejes. Dados cuatro puntos {A, B, C, D} que satisfacen la propiedad de convexidad de la sección anterior (observación), hay dos parábolas reales a través de estos puntos. Sus ejes se pueden determinar usando el teorema de involución de Desargues (ver DesarguesInvolution.html ). De hecho, todas las cónicas que pasan por estos cuatro puntos inducen, a través de sus puntos de intersección, en cualquier línea L una involución homográfica (consulte InvolutionBasic.html ). Seleccionando la línea L para que sea la línea en el infinito, las dos parábolas corresponden a los puntos fijos de esta involución, que se traducen en las direcciones de los ejes de las parábolas.  Así, al identificar la línea en el infinito con el lápiz O * de líneas a través de un punto arbitrario O, podemos construir las dos direcciones de las parábolas como puntos fijos de una involución en O *.  [1] La involución se define dibujando una línea L arbitraria y considerando sus puntos de intersección con las líneas de O *. [2] Más precisamente, dados los cuatro puntos {A, B, C, D} considera los pares de puntos en L (A ', C'), (B ', D') obtenidos al intersecar L con paralelos respectivamente a { FA, FC, EB, ED}.  [3] Los dos pares (A ', C'), (B ', D') definen de forma única la involución en L, que puede representarse por los círculos del círculo-haz generado por los círculos en los diámetros A'C ' y B'D '(ver Involution.html ).  [4] Los puntos fijos de esta involución son los puntos límite M, N de este círculo. Pueden construirse como intersecciones de L con un círculo arbitrario (c) ortogonal a los círculos con diámetros A'C 'y B'D'.  [5] Los ejes de las parábolas son paralelos a las líneas OM y ON.  4. El caso de trapecio. Cuando los cuatro puntos dados {A, B, C, D} son vértices de un trapecio, entonces solo hay una parábola no degenerada , cuya construcción se considera en ParabolaCircumscribingTrapezium.html . La otra es la parábola degenerada representada por la unión de las dos líneas que bordean los lados paralelos del trapecio. REEDIRIGIDA POR LA WEB : http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/AllParabolasCircumscribed.html