GEOMETRÍA DINÁMICA

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Analogon

Dados los puntos ABC, considere dos puntos D = (1-s) B + sC, E = (1-t) B + A, con s fijo, t. En las mismas líneas considérese también los puntos G = (1-h) D + hC y F = (1-h) E + hA. Demuestre que el punto de intersección H de la línea CA y la línea FG es independiente de la posición de B, siempre que los puntos A, C y los números s, t, h permanezcan fijos.

En el cálculo anterior, x es la relación DG / DC = EF / EA. El punto B se puede mover libremente (cambie a la herramienta de selección CTRL + 1) y al moverlo, se ve que H permanece constante. Un cálculo relacionado se realiza en el archivo Analogon2.html .

Analogon-2

Dados los puntos A, B, C, que definen las líneas BA y BC, considere otros dos puntos en estas líneas correspondientemente: D = (1-s) B + sA, E = (1-t) B + C, con s fija, t En las mismas líneas considérese también los puntos G = (1-x) D + xA y H = (1-x) E + xC. Varíe el número real x y en la línea variable resultante GH (x) considere el punto que definí a través de I = (1-t) H + tG con t fija. Demuestre que para la variable x y todos los demás datos fijos, el punto I se mueve en una línea (roja), pasando por F = (1-t) C + tA.

En el archivo Analogon.html discutimos la relación del punto J de B y los otros datos. 

Mire el archivo Trianalogon.html para ver una aplicación de esta propiedad en los lados de un triángulo.

 Solución analítica

El siguiente problema se discute en [SalmonConics, pág. 51] aplicando coordenadas polares: 
Dada la base c = AB y la suma de los lados m = a + b = AK de un triángulo ABC, erige en B el perpendicular 
al lado a = BC intersectando la bisectriz externa del ángulo C en P. 
Para encontrar el lugar de P. 
La solución procede utilizando el ángulo θ = π / 2-B en un sistema de coordenadas polares centrado en B. 
La primera observación es que BCP = π / 2 - C / 2 y del triángulo PCB: a = r * tan (C / 2). Luego, para encontrar 
la dependencia del radio r desde θ basta con expresar un y tan (C / 2) en términos de θ. 
Para esto use la fórmula de coseno para ABC: 
b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B),
sustituyendo b = ma y cosB = sin (θ) obtenemos, 
m ² - 2ma + a ² = a ² + c ² - 2ac sen (θ), y de esto, 
a = (m ² -c ² ) / (2 (m-csin (θ)). 
También tan (C / 2) puede expresarse en términos de los datos dados y 
tan . tan (C / 2) = bsinC / (b (1 + cos (C))), 
pero bsin (C) = csin (B) = ccos (θ), y bcos (C) = a-ccos (B) = a-csin (θ), por lo 
tanto tan (C / 2) = ccos (θ) / (m -csin (θ)). La 
sustitución de los valores encontrados en a = r * tan (C / 2) produce, 
(m ² -c ² ) / (2 (m-csin (θ))) = r * c * cos (θ) / (mc * sin (θ)) => rcos (θ) = (m ² -c ² ) / (2c).
Por lo tanto, el locus es una línea perpendicular a AB a una distancia (m ² -c ² ) / (2c) de B.

 2. Solución sintética.

¿Cuál es la línea misteriosa (PQ en la figura) encontrada por el cálculo anterior? La solución analítica es buena y está bien 
para ubicarla rápidamente, pero no proporciona información por su importancia y contenido geométrico. La siguiente solución sintética ofrece 
una descripción mucho más detallada de la relación de este lugar con el triángulo y su geometría. 

Primero, la bisectriz CP invita a reflejar todo en ella, obteniendo K, simétricamente a B, de modo que m = a + b 
es la longitud dada de la suma de los lados. La H central de BK describe un círculo k construible a partir de los 
datos dados. De hecho, dibuje desde los paralelos H a los ortogonales KE, KI intersectando AB en G, J, que son los
Middles de BE y BI correspondientemente. Los puntos G, J son construibles y H está viendo el segmento GJ bajo un ángulo 
recto. Así, H está en el círculo k con diámetro GJ. 
El locus (línea PQ) es el polar de B con respecto a este círculo con diámetro GJ. Para ver este aviso de que los 
paralelos a KA, KP de H intersectan los segmentos AB, BP, respectivamente, en sus medios. Dado que AKP es un ángulo recto, también 
lo es LHN, los círculos k y BHPQ son ortogonales, por lo tanto, k y el círculo k 'con diámetro BQ también son ortogonales. 
Esto se debe a que tanto k 'como BHPQ pertenecen al círculo circular de los círculos que pasan por {B, Q} que son simultáneamente 
ortogonales para k y la línea AB. Esto prueba la afirmación. La prueba también muestra que el locus, que es la línea PQ, es el inverso en k
Del círculo pequeño con diámetro BL. 

Moraleja La prueba analítica es fácil, de aplicación general, potente y rápida para encontrar la solución. El sintético 
es difícil, especializado en el problema en particular, lento, que requiere conocimientos y experiencia en el área especial a la que 
pertenece el problema. Sin embargo, su gran ventaja es que ofrece información sobre las conexiones geométricas involucradas, algo 
que está totalmente ausente de los métodos analíticos. 
Observación A menudo, una primera solución sintética puede reemplazarse por una más simple que se encuentra más adelante. Aquí, por ejemplo, se 
obtiene una solución sintética mucho más simple al observar que {HG, HJ} son las bisectrices en H del triángulo BHQ.
De hecho, el ángulo (BHQ) = ángulo (BPQ) = π / 2-θ = B, ángulo (BHG) = ángulo (BKE) = ángulo (AKE) -C / 2 = (π-A) / 2-C / 2 = B / 2. 
Por lo tanto, es una cuestión de gusto, ¿cómo gastar (¿desperdiciar?) El tiempo, en una vita calculativa o una vita contemplativa. 
Estoy inclinado hacia el segundo.

Problema de angulo

Sea ABC un triángulo isósceles (AB = AC) con un ángulo (BAC) = 20. El punto D está en el lado AC, de manera que el 
ángulo (DBC) = 60. El punto E está en el lado AB, tal que el ángulo (ECB) = 50. Halla , con prueba, la medida del 
ángulo (EDB) [CoxGrei, p. 26].

Hay varios equivalentes ocultos en la figura. En particular, al dibujar de forma paralela DH a BC, 
obtenemos dos simétricas en los aspectos de la AF. Otro, EBG = EFC, se construye considerando el 
círculo en B con radio BC. Por el ángulo de simetría (EHF) = ángulo (FDC) = 180- (60 + 80) = 40. 
ángulo (EFH) = 180- ángulo (EFC) = 40. Por lo tanto, HEFD tiene dos pares de lados adyacentes iguales, por lo tanto 
sus diagonales se intersectan ortogonalmente. Por lo tanto, FD bisecta el ángulo (HDF) que es de 60 grados. 
Para una discusión interesante y la historia del problema, vea [Rike] en las referencias a continuación.