AMIGOS PARA SIEMPRE: GEOMETRÍA DINÁMICA

REEDIRIGIDA DESD ELA WEB : http://users.math.uoc.gr

Paso cónico a través de tres puntos y tangente a dos líneas.

Este problema, en el caso de que las dos líneas t, t 't contenidas no contengan ninguno de los tres puntos dados {A, B, C}, admite una solución simple mediante la aplicación de un caso especial del teorema de involución de Desargues (consulte DesarguesInvolution3.html ).
De hecho, según este teorema, la involución definida en la línea AC por el par de puntos (A, C) y (F, G), siendo F, G las intersecciones de AC con t 'yt respectivamente, tiene un punto fijo Y en el acorde que une los puntos tangentes de t y t '.
Análogamente, el intercambio involutivo (A, B) y (H, I) en la línea AB tiene un punto fijo X en el mismo acorde. Así, se conoce el acorde XY de tangencia y al intersectarlo con t y t 'obtenemos dos puntos adicionales D, E y reducimos el problema al de la construcción de una cónica que pasa por cinco puntos: {A, B, C, DELAWARE}.

Paso cónico a través de tres puntos y tangente a dos líneas II.

Este es otro caso del que se maneja en Conic3Pts2Tangents.html . Aquí se supone que la cónica pasa a través de los puntos {A, B, C} y que es tangente a las líneas dadas {t, t '} en A, B respectivamente.
De hecho, según el teorema discutido en DesarguesInvolution3.html , la involución f se define en una línea arbitraria a través de C que interseca t 'en X ₁ , t en X ₂ y AB en X * y que tiene f (X ₁ ) = X ₂ yf (X *) = X * (fijo), mapea C a otro (cuarto) punto X de la cónica.
De manera similar, al tomar una segunda línea a través de C, encontramos un quinto punto Y en la cónica y reducimos el problema al estándar de construcción de una cónica que pasa por cinco puntos: {A, B, C, D, E}.

De manera similar, se puede manejar el caso de la cónica que pasa por los puntos {A, B, C} y que es tangente a las líneas dadas {t, t '}, t que pasa por A, pero t' no pasa por ninguno de los puntos dados.
En ese caso, trazamos la línea BC que intersecta t, t 'en X ₂ , X ₁ respectivamente y determinamos la involución f en BC, intercambiando X ₁ , X ₂ y B, C. Un punto fijo X * de (f) está contenido en El acorde de tangencia de t y t '. Un cuarto punto D se determina como el punto de intersección de AX * y t '. El problema se reduce al anterior.

Homografía cónica.

Una homografía cónica (f) es una transformación invertible de los puntos de una cónica (c) sobre sí misma que preserva la relación cruzada de cuatro puntos en la cónica . Dicha transformación f se puede definir de dos maneras:
(a) Intrisicalmente, sin usar el espacio circundante pero usando una buena parametrización de la cónica (consulte GoodParametrization.html ).
(b) Al restringir en la cónica (f = F | c) una proyectividad F de todo el plano que preserva la cónica (es decir, mapea la cónica sobre sí misma).
Para definir la homografía cónica de la primera manera, corrija una buena parametrización G _P : c -> R a través de la proyección estereográfica desde un punto P de la cónica en una línea fija. Luego define f configurando su representación f '= G_P fG _P^-1 : R -> R, a través de una transformación de Moebius, es decir, una relación de la forma t '= (en + b) / (ct + d), con un determinante distinto de cero ad-bc.
Dado que esta relación se determina completamente al dar los valores en tres puntos diferentes, concluimos que las homografías cónicas se determinan prescribiendo los valores {A ', B', C '} en tres puntos {A, B, C} de la cónica ( Ambas triples constan de puntos de la cónica).
Para definir la homografía cónica de la segunda manera, simplemente restrinja en (c) una proyectividad que preserva (c) y se define en todo el plano proyectivo. Trabajando en el modelo estándar del plano proyectivo, y si la cónica está dada por una matriz simétrica A, entonces su ecuación es x ^t.Ax = 0, luego dicha homografía cónica (preservando c) se determina a través de una matriz invertible P que satisface la relación P ^t AP = A.

Se puede mostrar (Berger, II p. 178) que las dos definiciones son equivalentes. A continuación se ilustra un ejemplo de una homografía cónica de la cónica (c). Se muestran las dos partes de los puntos {A, B, C} y {A '= f (A), B' = f (B), C '= f (C)}, así como algunos otros puntos, que son de Importancia para el estudio de la homografía cónica así definida.
El ingrediente principal es el eje de homografía (línea (d) a continuación), que se define por la siguiente propiedad: Para un par de puntos A, B en la cónica y sus imágenes A '= F (A), B' = F ( B) bajo la homografía cónica, las líneas AB 'y BA' se intersecan en una línea fija (d).

La prueba de la afirmación sobre el eje de homografía se da en ( HomographyAxis.html ). Aquí observo que el eje de homografía (d) es una línea invariante de la extensión de F en el plano (de la homografía cónica) y su polo con respecto a la cónica es un punto fijo D de la extensión de F en el plano. Esto sigue inmediatamente del cuadrilátero completo que se muestra arriba. Si B '= F (B), une D con B y B' para definir B ₀ y B ₁ en las líneas BD y B'D respectivamente. Suponiendo que (d) es el eje de la homografía sigue que B ₁ = F (B ₀ ). Por lo tanto, la línea BB ₀ se asigna a la línea B'B ₁y por la preservación de las relaciones cruzadas D = F (D). La invariancia de (d) también se prueba con un argumento similar.

2. La familia invariante bitangente asociada.

Con los ajustes anteriores, dado que la cónica (c) y su eje de homografía (d) son invariantes bajo la homografía (extendida) F, lo mismo será cierto para cada cónica del llamado haz de bitangente generado por la cónica (c) y La doble linea d ² . Identificando los símbolos con sus ecuaciones, la familia puede describirse variando el parámetro k en la ecuación
c _k = c + kd ² = 0 (*).
Teorema-1 Las homografías cónicas están siempre conectadas a las proyectividades F del plano que dejan invariante a toda la familia bitangente.de las cónicas. Estas cónicas están descritas por (*) e incluyen una línea invariante (d) y un punto límite D, que está fijado por F. El par (D, d) está determinado por la homografía cónica y satisface la relación polo-polar con respecto a a la cónica. De hecho, satisface esta relación con respecto a cada miembro _ck de la familia invariante correspondiente.

3. Las dos categorías de homografías cónicas, homografías involutivas.

En el caso de que el punto D no se encuentra en la línea d, la imagen sugiere la distinción de dos categorías importantes de homografías cónicas en una cónica (c), las homografías se definen al prescribir sus valores en tres puntos de la cónica {A, B, C , A '= f (A), B' = f (B), C '= f (C)}:
(I) Las líneas {AA', BB ', CC'} son concurrentes.
(II) Las líneas {AA ', BB', CC '} no son concurrentes.
Más fácilmente se caracteriza la primera categoría. En ese caso D, el punto fijo de la homografía extendida F, coincide con el punto de intersección de las tres líneas y la línea invariante d no solo es invariante por F sino también fija en el sentido .
De hecho, el punto de intersección E de {AB ', A'B} está en d y el punto de intersección G de {AA', BB '} está en el polar de E con respecto a la cónica. Análogamente, el punto de intersección N de {BB ', CC'} está en el polar del punto de intersección M de {BC ', CB'} que se encuentra en d. Dado que, por la dualidad de polo-polar, los dos polares pasan a través de D, si G y N coinciden, entonces son idénticos a D. En ese caso, las líneas {DA, DB, DC} son invariantes con F, de ahí sus intersecciones con d los puntos fijos de F. Por lo tanto, F tiene tres puntos fijos en D, por lo tanto, cada punto permanece fijo en F.
Una consecuencia de esto es que cada línea a través de D es invariante por F, ya que contiene dos puntos fijos de F: D y su intersección con d.
Una consecuencia de esto es que F tiene un comportamiento muy simple similar a la correspondencia del punto diametral de un círculo con respecto a su centro. Para cada punto P en c, la imagen P '= F (P) es el otro punto de intersección de la línea DP con la cónica. Una consecuencia de esto es que también F (P ') = P, por lo tanto, F ² = I (I: la transformación de identidad) y F es una involución . A la inversa, se puede demostrar fácilmente que una homografía involutiva de una cónica no puede tener el punto fijo D en su eje invariante sin ser trivial (la identidad) y que fija los puntos de su eje homográfico y sus líneas PP pasan a través de D. Así lo siguiente es cierto.

Teorema-2 Hay dos categorías de homografías cónicas:
(I) El involutivo, satisfaciendo F ²= I, y
(II) Los otros, no involutivos.
La primera categoría se caracteriza por los siguientes hechos:
a) El eje de homografía d permanece fijo a la derecha en F y hay un punto fijo más D no contenido en d.
b) Las líneas PP '(P' = F (P)) pasan por el punto D.
c) F es una homología armónica (denominada también perspectividad armónica ). A cada punto X asocia un punto Y tal que la relación cruzada (X, Y, D, H _X ) = - 1, H _X denota la intersección de XD con la línea d.

4. El caso D está contenido en d.

La siguiente imagen ilustra el caso (en la categoría II) donde el punto fijo D de F está contenido en el eje de homografía, por lo tanto, la línea invariante d es tangente a la cónica y la homografía inducida en la línea d está representada por una transformación de Moebius y = (ax + b) / (cx + d). Muestra también algunos miembros de la invariante familia de las cónicas generadas por el eje cónico y la homografía. Todas las cónicas de la familia son tangentes a la línea d.
La fijación de una cónica y el punto D, cada homografía cónica de este tipo está determinada únicamente por un par de puntos (A, A ') de la cónica. De hecho, para cada otro punto B de las líneas cónicas A'B y B'A deben intersecarse en un punto X en d, por lo tanto, B 'se determina como el otro punto de intersección de la línea AX. Este argumento se aplica de manera más general y prueba lo siguiente.
Teorema 3 Si se conoce el eje de homografía o el punto fijo de la homografía cónica, entonces la homografía está completamente determinada por un par de puntos (A, A ') de la cónica.