GEOMETRÍA DINÁMICA

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Fórmulas en baricéntricos

Considere el triángulo de referencia ABC y un punto P, con coordenadas baricéntricas absolutas (ver 
BarycentricCoordinates.html ) wr a ABC: P (p _x , p _y , p _z ). Indica con (P _x , P _y , P _z ) etc. las 
coordenadas trilineales correspondientes. Las relaciones básicas entre 
coordenadas baricéntricas y cartesianas se expresan a través de las relaciones vectoriales: 

                                                                 P = p _x * A + p _y * B + p _z * C. 

Escribiendo estas ecuaciones en forma matricial obtenemos:

Si N denota la matriz anterior, su inversa M = N ^-1 (use Maxima) es:

El denominador del factor es igual al doble del área del triángulo. Observe que esta relación matricial 
no expresa una relación lineal entre los dos conjuntos de coordenadas, debido a 
la tercera coordenada del vector de columna en el lado derecho, que siempre es 1, incluso para la suma de 
dos puntos. Hay un caso particular de interés, cuando consideramos la línea entre 
dos puntos P, Q: 
                                                          S (t) = (1-t) P + tQ. 
Para las correspondientes coordenadas baricéntricas obtenemos, utilizando la matriz anterior M.

Dado que r = t / (t-1) es la relación firmada r = SP / SQ (con inverso dado por la misma función: t = r / (r-1)), vemos que el punto 
(s (t) _x , s (t) _y , s (t) _z ), en la línea de PQ, divide el segmento PQ en esta relación r = SP / SQ = t / (t-1). 
También la diferencia de coordenadas está involucrada en fórmulas interesantes. De hecho, desde la primera ecuación tenemos:

Donde colocamos d _x = p _x -q _x , etc. Estos d's satisfacen d _x + d _y + d _z = 0. Tenga en cuenta la última ecuación 
y considere ahora el producto interno de PQ y da:

Tomando el origen como el centro O del circuncírculo del triángulo ABC, tenemos, siendo R el radio 
y denotando con {A, B, C} también la medida de los ángulos del triángulo de referencia:

Teniendo en cuenta la ecuación d _x + d _y + d _z = 0, solo el segundo término contribuye al producto, por lo tanto:

Esto, por la ecuación sinusal, dando a su vez (a, b, c son las longitudes laterales del triángulo):

De la ecuación d _x + d _y + d _z = 0, tenemos que -d _y d _z = (1/2) (d _y ² + d _z ² -d _x ² ) y ecuaciones similares para 
las permutaciones cíclicas de símbolos (x-> y-> z-> x). Introduciendo esto en la ecuación anterior y 
refactorizando obtenemos la fórmula conocida ([YiuGN], p.87):

 2. Relaciones entre los trilineros.

Teniendo en cuenta la relación de los valores baryéntricos (x absolutos) con los trilíneos (x absolutos), D denota el área del triángulo:

obtenemos la fórmula correspondiente que expresa la distancia en términos de las diferencias (D _x , D _y , D _z ) 
de las coordenadas trilineales de los dos puntos:

Y como aD _x + bD _y + cD _z = 0, con D _x = P _x -Q _x , etc., tenemos equivalentemente:

La última ecuación, teniendo en cuenta el conocido R = abc / (4D) y la ecuación sinusoidal a = 2Rsin (A), etc., lleva a [Carnoy p.84]:

A partir de esto, asumiendo que Q fijo y P variable en el círculo con el centro en Q y radio r, obtenemos la ecuación del círculo 
en trilinear:

Esto obtiene su forma habitual para trilineales homogéneos al multiplicarse donde sea apropiado con 1 escrito 
como 1 = (aP _x + bP _y + cP _z ) / (2D). De hecho, expandiendo D _x ² = (P _x -Q _x ) ² , etc. y multiplicando los términos lineales en 
Q _x , Q _y , Q _z con la última expresión de la unidad y también multiplicando los términos cuadráticos con el 
cuadrado de La expresión obtenemos la ecuación del círculo en la forma [Carnoy p. 131]:

Los coeficientes (k, l, m) son funciones de las coordenadas del centro y del radio del círculo. 

En particular, para el circuncírculo del triángulo de referencia, obtenemos fácilmente su ecuación del hecho de que los vértices, 
con trilíneos (no absolutos) (1 / a, 0,0), (0,1 / b, 0), (0,0,1 / c) satisface la ecuación => k = sin (2A) / a, etc. 
Después de simplificar obtenemos la ecuación (ver también Trilinears.html ): 
                                                                       ayz + bzx + cxy = 0. 
Comentario 1 Se puede probar ([Carnoy p. 133], [Koehler p. 173]) que la ecuación: 
                                                                      sin (2A) x ² + sin (2B) y ²+ sin (2C) z ² = 0, 
representa el círculo del conjugado del triángulo de referencia (ver Autopolar.html ). Por lo tanto, dado que la diferencia de las 
ecuaciones de dos círculos representa su eje radical, la parte lineal de la ecuación general: 
                                                                       kx + ly + mz = 0, 
representa el eje radical del círculo general y el círculo conjugado del triángulo de referencia ABC ( [LoneyII p. 69], 
véase también la Observación-2 de la Sección-5 de ProjectiveCoordinates.html ). 

Observación-2 De la forma anterior de la ecuación general se sigue que todos los círculos pasan por los puntos de intersección de las curvas:

La primera ecuación que representa la línea en el infinito, esto implica que los dos puntos que representan las soluciones de las ecuaciones 
son los complejos puntos circulares imaginarios en el infinito. 
Vea también el archivo AreaInBarycentrics.html que calcula el área de un triángulo, cuyos vértices se dan en 
coordenadas baricéntricas .

 Coordenadas baricéntricas como mapeo proyectivo.

Aquí continúo algunos pensamientos iniciados en BarycentricCoordinates.html . Dado el triángulo de referencia ABC, las correspondientes coordenadas baricéntricas representan un mapeo entre dos copias del plano euclidiano proyectificado. Indique por P ² y Q ² los dos planos proyectivos y por F: P ² -> Q ² el mapa correspondiente. F está completamente determinada por las condiciones: 
1) Hay un triángulo equilátero distinguido A * B * C * con centroide M *. 
2) F asigna los vértices del equilátero a los vértices correspondientes del triángulo (A * -> A, B * -> B, C * -> C) y el centroide M * al centroide correspondiente M de ABC.

Este mapa podría realizarse geométricamente a través de la proyectificación de una transformación afín de dos planos en el espacio euclidiano tres. El primer plano, que representa la parte afín de P ² , sería el plano afín dado por la ecuación x + y + z = 1. A *, B *, C * serían los puntos finales de los tres vectores de coordenadas de unidad estándar e ₁ , e ₂ , e ₃ . El otro plano afín, que representa la parte afín de Q ² , se definiría por z = 1 y A, B, C se definiría por los puntos finales de tres vectores linealmente independientes que emanan del origen. F se definiría entonces por la aplicación lineal representada por la matriz:

Aquí (p _x , p _y , p _z ) denota las coordenadas de P * y (P ₁ , P ₂ , P ₃ ) denota las coordenadas homogéneas de P. 
[1] El mapeo envía la línea en el infinito del primer plano, definido por p _x + p _y + p _z = 0, a la línea en el infinito del segundo plano definido por P ₃ = 0. 
[2] Denota por F 'la restricción afín de F a los planos afines correspondientes. Al ser afín, F 'conserva la paralelismo de las líneas, los puntos medios de los segmentos y, más generalmente, las relaciones de tres puntos en una línea. Por lo tanto, en la imagen anterior: P * A * / P * D * = PA / PD y D * B * / D * C * = DB / DC.
[3] Además, F conserva la naturaleza de las cónicas, mapeando elipsis a elipsis, hiperbolas a hipérbolas y parábolas a parábolas de manera correspondiente. 
[4] De la linealidad de F 'sigue también la fórmula para el área de un triángulo DEF, como se explica en BarycentricsFormulas.html . 
[5] Las coordenadas baricéntricas utilizan las coordenadas proyectivas estándar del punto P * como parámetros para P. Por lo tanto, las líneas se representan mediante ecuaciones lineales como k * p _x + m * p _y + n * p _z = 0, y cónicas con ecuaciones cuadráticas :

[6] En particular, las cónicas que pasan a través de los vértices del triángulo ABC tienen sus ecuaciones satisfechas por los vectores de coordenadas (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1), lo que implica un _1 1 = a _2 2 = a _3 3= 0. Son imágenes bajo F de cónicas que circunscriben A * B * C *. 
[7] En particular, el circuncírculo de A * B * C * está mapeado por F en la elipse de Steiner externa del triángulo ABC. Para ver esto, primero observe que las circunferencias de ABC están completamente determinadas a través de sus tangentes en los tres vértices (vea PascalOnTriangles.html ). La elipse de Steiner es aquella para la cual las tangentes a los vértices son paralelas a los lados opuestos correspondientes.