GEOMETRÍA DINÁMICA

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 preliminares

En la discusión posterior, los puntos A, B, ... del plano se identifican con vectores bidimensionales (a ₁ , a ₂ ), (b ₁ , b ₂ ) .... 

[1] Tres puntos del plano {A, B, C} son colineales <==> 
Hay tres números (x, y, z) no todos cero, de modo que xA + yB + cZ = 0 y x + y + z = 0 . 
(<= parte) Si x + y + z = 0 y xA + yB + zC = 0 => (-yz) A + yB + zC = 0 => y (BA) + z (CA) = 0, es decir, {A , B, C} colineal. 
(=> parte) Revertir las implicaciones anteriores. 

[2] Deje que los puntos del plano {A, B, C} no sean colineales. 
Luego, para cada otro punto D del plano hay números únicos (x, y, z) con x + y + z = 1 y D = xA + yB + zC .
De hecho, extienda las coordenadas de los vectores bidimensionales (x, y) a tridimensional (x, y, 1). Indique los correspondientes puntos espaciales con {A ', B', C ', D'}. 
(i) Aplique [1] para ver que {A ', B', C '} son independientes. 
(ii) Exprese D 'en la base {A', B ', C'} para encontrar el único definido (x, y, z) según sea necesario. 
[3] Dados tres números x, y y z, el punto E se define a través de la ecuación vectorial: 
OE = x * OA + y * OB + z * OC. 
Se ve fácilmente que E depende de la posición del origen O y de los tres números (x, y, z).

Tomando s = x + y + z y x '= x / s, y' = y / s, z '= z / s uno define D (colineal con {O, E}) a través de la misma ecuación: 
OD = x' * OA + y '* OB + z' * OC (ahora (x ', y', z ') satisfaciendo x' + y '+ z' = 1). 

[4] Para el {A, B, C} no colineal, el punto D, definido por la ecuación anterior, es independiente de la posición de O y depende solo de los tres números (x ', y', z ') con x' + y '+ z' = 1 . 
De hecho, usando otro punto O 'para el origen, la misma ecuación y los números análogos (x' ', y' ', z' ') para expresar D: O'D = x' '* O'A + y' '* O'B + z '' * O'C y la sustracción obtenemos: 
OD-O'D = (x '* OA + y' * OB + z '* OC) - (x' '* O'A + y' '* O'B + z' '* O'


(x'-x '') A + (y'-y '') B + (z'-z '') C = 0. 
Por [1] esto implica (x'-x '') = 0, ( y'-y '') = 0, (z'-z '') = 0, según se desee. 

[5] Los números (x ', y', z ') con x' + y '+ z' = 1 que expresan D en la ecuación anterior son iguales a los cocientes de las áreas firmadas: 
x '= Área (DBC) / Área (ABC), y '= Área (DCA) / Área (ABC), z' = Área (DAB) / Área (ABC) . 
Usando la independencia de (x ', y', z ') de la posición de O, seleccionamos O = D y usamos x' = 1-y'-z '=> 
(1-y'-z') DA + y 'DB + z'DC = 0 => DA + y' (DB-DA) + z '(DC-DA) = 0 => AD = y' (AB) + z '(AC). 
Multiplicando externamente por AB => (AD) x (AB) = z '(AC x AB) o equivalentemente 
z' (AB x AC) = (AB x AD). 
Las ecuaciones análogas resultan también para y 'y x'. Tomando la orientación positiva en la dirección ABxAD tenemos el resultado indicado.

 2. Coordenadas baricéntricas - definición

Sean {A, B, C} tres puntos no colineales del plano. Para cada otro punto D del plano hay números únicos (x, y, z) que satisfacen x + y + z = 1, de manera que D = xA + yB + zC. Los números (x, y, z) vienen dados por los cocientes de áreas firmadas: 
x = Área (DBC) / Área (ABC), y = Área (DCA) / Área (ABC), z = Área (DAB) / Área ( A B C). 

(x, y, z) se llaman coordenadas homogéneas baricéntricas absolutas del punto D. Más general, se considera múltiplos (c * x, c * y, c * z) como coordenadas homogéneas baricéntricas generales del punto D.
Los signos de los números resultan de las orientaciones de los triángulos correspondientes, por ejemplo, si {D, A} están en el mismo lado de BC, entonces x es positiva. De lo contrario, es negativo y para D en BC es cero. De hecho, x = 0 caracteriza la línea BC. Las observaciones análogas son válidas también para y y z.

 3. Rastros y ratios.

Variando x solo, se mueve D a lo largo de una línea fija a través de A. Para x = 0, obtenemos D _A en la línea BC, identificada con el punto D _A = yB + zC. D _A se llama la traza de D en el lado BC del triángulo ABC. Análogamente se definen las huellas D _B y D _C . 
La relación orientada D _A B / D _A C, calculada utilizando y + z = 1, da el valor - (z / y).

 4. Aspecto de la geometría proyectiva.

El baricentro del triángulo, es decir, el punto de intersección G de sus medianas, define los triángulos GBC, GCA, GAB con áreas iguales, por lo que tiene coordenadas baricéntricas homogéneas (1,1,1). Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas coinciden con las coordenadas proyectivas con respecto a la base proyectiva (A, B, C, G) (ver ProjectiveBase.html ). 

Se deduce que las coordenadas baricéntricas homogéneas utilizan los vértices (A, B, C) del triángulo y su centroide G para definir un mapa proyectivo del plano proyectivo real bidimensional estándar P ²al plano proyectificado (afín extendido) del triángulo. Indique este plano (proyectivo) por Q. Dicho mapa está completamente determinado por 4 puntos independientes y sus imágenes. En nuestro caso, los cuatro puntos de P ² se definen a través de la base estándar A * = [e ₁ ], B * = [e ₂ ], C * = [e ₃ ] y M * = [e ₁ + e ₂ + e ₃ ]. Sus imágenes correspondientes son los puntos A, B, C y M. Denotan este mapa proyectivo por F. Punto X de P ² , representado por las coordenadas homogéneas [x, y, z], mapas a través de F al punto xA + yB + zC = D. 

Cada línea ax + por + cz = 0 de P ²mapas debajo de F en una línea de Q expresada a través de la misma ecuación. En particular, la línea proyectiva de P ² definida por la ecuación x + y + z = 0, se asigna a la línea correspondiente en el infinito de Q expresada también por la ecuación x + y + z = 0. 

Considere el plano S del espacio tridimensional definido por la ecuación: x + y + z = 1, y pasando a través de los puntos e ₁ , e ₂ , e ₃ . El mapa proyectivo F, considerado anteriormente, es la "extensión proyectiva" del mapa afín F * de S en Q, mapeo e ₁ a A, e ₂ a B e e ₃ a C. 
En S, puntos e ₁ , e ₂ e ₃son vértices de un triángulo equilátero y g = (e ₁ + e ₂ + e ₃ ) / 3 es el centro (de gravedad) de este equilátero, mapeando bajo F en el baricentro del triángulo ABC. 

De este modo, las coordenadas baricéntricas transfieren el aparato de geometría proyectiva a la geometría del triángulo ABC, permitiendo la formulación / investigación simple de las relaciones de coincidencia.

 Líneas en coordenadas baricéntricas.

Los conceptos básicos de Barycentrics se tratan en BarycentricCoordinates.html . Aquí hay algunos hechos relacionados con las líneas: 
[1] Una línea está representada por una ecuación de la forma ax + por + cz = 0. 
[2] El punto de intersección de esta línea con la línea a'x + b'y + c'z = 0 viene dado por el producto vectorial de los vectores de coeficientes: 
                                                           (bc'-cb ', ca'-ac', ab'-ba '). 
[3] La intersección de la línea [1] con la línea en el infinito x + y + z = 0 es, por consiguiente, el punto: 
                                                                       (bc, ca, ab). 
[4] Dos líneas son paralelas cuando se intersecan en la línea en el infinito, por lo tanto, cuando satisfacen:
                                                            bc'-cb '+ ca'-ac' + ab'-ba '= 0. 
[5] La línea que pasa por dos puntos dados (a, b, c) y (a', b ', c') tiene coeficientes las coordenadas del producto vectorial: 
                                                            (bc'-cb ', ca'-ac', ab'-ba '). 
[6] La M media de dos puntos A (a, b, c) y B (a ', b', c ') se encuentra como el conjugado armónico del punto en el infinito de la línea AB. 
Aplicando los cálculos anteriores, se encuentra que (la igualdad es para los tripples de coordenadas)   
                                                                  M = (a + b + c) B + (a '+ b' + c ') A.
[7] La ​​línea de A (a, b, c) paralela a la línea a'x + b'y + c'z = 0 es la línea que une A con el punto en el infinito de la línea, 
que es (b '-c', c'-a ', a'-b'). Si esta línea es px + qy + rz = 0, sus coeficientes están dados por   
                                                (p, q, r) = (a + b + c) (a ', b', c ') - (aa' + bb '+ cc ') (1,1,1). 
Por lo tanto, la línea se puede escribir como una combinación de la línea dada y la línea en el infinito, en la forma    
                                                (a + b + c) (a'x + b'y + c'z) - (aa '+ bb' + cc ') (x + y + z) = 0. 
[8] Las líneas px + qy + rz = 0 y p'x + q'y + r'  
rr '- S _a (qr' + q'r) - S _b (rp '+ r'p) - S _c (pq' + p'q) = 0. 
      Aquí S _a = (b ² + c ² -a ² ) / 2, S _b , S _{c que} resulta análogamente al permutar cíclicamente {a, b, c}, y donde (a, b, c) son las longitudes laterales del triángulo de referencia [LoneyII, pág. 57]. 
      Tenga en cuenta que la forma cuadrática involucrada aquí es degenerada ya que la matriz correspondiente satisface

Esto se ajusta al hecho de que si las líneas {L = 0, L '= 0} son ortogonales, lo mismo es cierto para {L + kL ₀ , L'}, donde L _{0 es} la línea en el infinito. Por [7] L + kL ₀ = 0 es paralelo a L = 0.

 2. Línea media de un segmento AB.

La mitad de un segmento AB determinado por dos puntos A (u, v, w) y B (u ', v', w ') se encuentra en 1.6 como   
                                                      M = (u + v + w) B + (u' + v '+ w') A. 
En la línea AB se encuentra que 1.5 tiene coeficientes   
                                         L = (p, q, r) = AxB = (vw'-v'w, wu'-w'u, uv'-u'v). 
Por 1.8 una línea con coeficientes L '= (p', q ', r') ortogonales a L satisface formalmente la ecuación de matriz   
                                                       L'HL ^t   = 0, 
donde L ^t denota el vector de columna transpuesta y H denota la matriz de sección previa. Así, L ', visto como un triple que satisface simultáneamente L') = 0 y L'M = 0 es (sus coeficientes) un múltiplo del producto vectorial   
                                                             L '= k (LH x M). 
Un breve cálculo muestra que este es igual al vector que consiste en los menores de la matriz

donde s _X representa la suma de las coordenadas de X y {a, b, c} son, como de costumbre, las longitudes de los lados del triángulo de referencia. Este producto vectorial puede ser representado en la forma.

donde D (a ² , b ² , c ² ) es la matriz diagonal con estos elementos y L ₀ es el vector (1,1,1) que representa los coeficientes de la línea en el infinito. En esta fórmula podemos reemplazar la línea L con una paralela a ella L * para la cual s _{L *} = 0, L * se define por   
                                                                    L * = L - (s _L / 3) L ₀ . 
Haciendo esta modificación los coeficientes de la línea media de AB están dados por

 3. Menelao en baricéntricos.

Tres puntos (D _A , D _B , D _C ) en los lados del triángulo de referencia ABC están en una línea px + qy + rz = 0 <==>   
Se pueden escribir en la forma (0, -r, q ), (r, 0, -p), (-q, p, 0). <==>   
Sus relaciones satisfacen (D _A B / D _A C) * (D _B C / D _B A) * (D _C A / D _C B) = 1. 

La primera equivalencia es trivial y la segunda se deduce de la expresión de la relación DB / DC = - z / y, si D = yB + zC (ver BarycentricCoordinates.html). Para otra vista más convencional del teorema de Menelao, mira Menelaus.html .

 4. Ceva en baricéntricos.

Tres puntos (P _A , P _B , P _C ) en los lados del triángulo de referencia ABC son las trazas de un punto P (x, y, z) <==>   
Se pueden escribir en la forma ((0, y, z), (x, 0, z), (x, y, 0)) <==>   
Sus relaciones en los lados del triángulo satisfacen (P _A B / P _A C) * (P _B C / P _B A ) * (P _C A / P _C B) = -1.   

La primera equivalencia es trivial y la segunda se sigue, como en Menelao arriba, de las expresiones de las relaciones P _A B / P_A C = -z / y,   
P _B C / P _B A = -x / z, P _C A / P _C B = -y / x. Multiplicando las tres relaciones se obtiene el valor -1. Lo inverso también es obvio. Si el producto de las tres proporciones es -1, entonces x, y, z se pueden encontrar de manera que P _A , P _B , P _C tengan las coordenadas mostradas. Esto define únicamente P (x, y, z). Para otra vista más convencional del teorema de Ceva, mira Ceva.html .

 5. Conjugados armónicos en baricéntricos.

Dado un punto P = yB + zC en la línea BC, el conjugado armónico de P con respecto al par (B, C) es P '= yB-zC. 

Esto se deduce de nuevo de la expresión de la relación PB / PC = -z / y, en consecuencia, P'B / P'C = z / y, de la que se deduce que (PB / PC) :( P'B / P'C) = -1. 

Observación Dado que cualquier línea se puede describir mediante una ecuación paramétrica de la forma P = yB + zC y {B, C} complementada con la apunte A no colineal con {B, C} a un triángulo de referencia, la propiedad anterior es generalmente válida por cualquier dos puntos en una línea.

 6. Trilineales polares en baricéntricos.

El trilineal tr (P) polar del punto P con respecto al triángulo ABC es la línea que contiene los conjugados armónicos B * de P _B wr a {A, C}, C * de P _C wr a {B, A} y A * de P _A wr a {C, B}. Que estos tres puntos A *, B *, C * están en una línea, se desprende de las siguientes observaciones:

Escriba P = uA + vB + wC (consulte BarycentricCoordinates.html ). Luego, las trazas están dadas por {P _A = vB + wC, P _B = wC + uA, P _C = uA + vB}. En la sección anterior, los conjugados armónicos de las trazas son entonces {A * = vB-wC, B * = wC-uA, C * = uA-vB} y satisfacen A * + B * + C * = 0 mostrando que C * está en la línea de {A *, B *}. 
Alternativamente, las baricéntricas de (A *, B *, C *) son ((0, v, -w), (- u, 0, w), (u, -v, 0)), que hasta un factor multiplicativo se puede escribir en la forma ((0,1 / w, -1 / v), (-1 / w, 0,1 / u), (1 / v, -1 / u, 0)) y mostrar, por aplicando a Menelao discutido en [2], estos puntos están en la línea descrita por la ecuación: 
                                                             x / u + y / v + z / w = 0 . 
Las siguientes observaciones dan otro punto de vista del mismo tema.
(1) Los conjugados armónicos de las trazas del centroide G del triángulo ABC están en la línea en el infinito. 
(2) Dado P, hay una proyectividad única H que mapea G a P y fija los vértices del triángulo. 
(3) Las proyectividades respetan la relación cruzada y las líneas, por lo tanto, H mapea la línea en el infinito sobre la tr (P) polar trilineal de P.

 7. Ejercicio auxiliar.

Para refrescar los espíritus, calculemos la relación DB / DE = k usando las dos relaciones DB / DC = my EB / EC = n, asumiendo que {D, E} son puntos en el lado BC: D = xB + yC, E = x '+ y'C.

De BarycentricCoordinates.html sabemos que DB / DC = m = -y / x y EB / EC = n = -y '/ x'. Usando distancias con signo tenemos    
                                                                 BC = BD + DC = DC-DB = (1-m) DC. 
Análogamente   
           BC = (1-n) EC. DB / DE = DB / (DC-EC) = mDC / (DC-BC / (1-n)) = mDC / (DC - [(1-m) / (1-n)] DC) = m / [ 1- (1-m) / (1-n)] =>   
                                                                     DB / DE = m (1-n) / (mn) <==>    
                                                                  DB / DE = y (x '+ y') / (x ' y-xy '). 

 La tripola.

Esto puede considerarse como una continuación de BarycentricCoordinates2.html . 
Allí discutimos el polar trilineal de un punto con respecto a un triángulo (decimos triángulo de referencia ABC). Hay una construcción inversa del punto Tripole de una línea con respecto a un triángulo. 
Al fijar el triángulo de referencia, este mapa establece una correspondencia entre el conjunto de puntos y el conjunto de líneas representadas en coordenadas baricéntricas a través del mapa: 
Punto P (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) (tripolo) <------> línea (1 / x ₀ ) x + (1 / y ₀ ) y + (1 / z ₀ ) z = 0 (tripolar). 
Notación A menudo escribo tr (P) y tr (L) para denotar el polar trilineal (línea) de P o / y el tripolo (punto) de la línea L. El significado preciso se deduce del contexto.

 2. Conica generada por tripoles.

Los Tríoles tr (L) de todas las líneas ax + by + cz = 0 a través del punto P (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) se encuentran en una cónica (c) con la ecuación: 
x ₀ / x + y ₀ / y + z ₀ / z = 0 <==> x ₀ * y * z + y ₀ * z * x + z ₀ * x * y = 0 que 
pasa a través de los vértices del triángulo de referencia ABC. 

Dado el punto P (x ₀ , y ₀ , z ₀ ), considere todas las líneas ax + by + cz = 0 (con la variable a, b, c) que pasa a través de ese punto, es decir, satisface 
ax ₀ + by ₀ + cz ₀ = 0 ( 1).
Los tripolos de estas líneas son los puntos con coordenadas respectivas (x ', y', z ') = (1 / a, 1 / b, 1 / c), por lo tanto satisfacen 
(x ₀ / x') + (y ₀ / y ') + (z ₀ / z') = 0 <==> x ₀ y'z '+ y ₀ z'x' + z ₀ x'y '= 0 (2). 
Esta es una ecuación cuadrática en (x ', y', z '), que define un paso cónico a través de los vértices del triángulo (ya que los vértices están dados por (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) según lo reivindicado. 

 3. La conjugación isotómica en baricéntricos.

La transformación descrita en baricéntrica por la fórmula: 
t (x, y, z) = (1 / x, 1 / y, 1 / z) 
se define para todos los puntos que no se encuentran en las líneas laterales del triángulo de referencia ABC. 
t se llama la conjugación isotómica con respecto al triángulo de referencia ABC. 

Indica con (P _A , P _B , P _C ) las trazas del punto P (x, y, z) a los lados de ABC. De BarycentricCoordinates.html sabemos que P _A B / P _A C = -z / a. Deducimos que la traza correspondiente del punto P '= t (P) en la línea BC divide BC en la relación -y / z, es decir, es simétrica de P _A wr al punto medio de BC.
Otras dos propiedades de esta transformación son: 
[1] es involutivo, es decir, t ² = 1, y 
[2] mapea las líneas ax + by + cz = 0 a las cónicas a través de los vértices de ABC. 
La primera propiedad es obvia y la última sigue estableciendo x '= 1 / x, y' = 1 / y, z '= 1 / z. Luego 
ax + by + cz = 0 => a / x '+ b / y' + c / z '= 0 es decir ay'z' + bz'x '+ cx'y' = 0.

 4. La misma cónica descrita de manera diferente.

La cónica (c) x ₀ * y * z + y ₀ * z * x + z ₀ * x * y = 0, generada por los tripols de todas las líneas a través del punto P (x ₀ , y ₀ , z ₀ ), También es la imagen isotómica de la línea x ₀ x + y ₀ y + z ₀ z = 0. 
Esta línea es el trilineal polar tr (P ') del conjugado isotómico P' = t (P). 

Nada que probar. El reclamo se desprende de las definiciones.

 5. Comentarios adicionales

[1] Por la definición de A *, B *, C * sigue (ver Polar_Construction.html ) que el polar trilineal de P coincide con el polar de P con respecto a la cónica (c). Esto no es cierto en general para t (P) y su ~ P polar trilineal. La última línea no es en general la polar de t (P) con respecto a la cónica. 
[2] Las líneas tr (P) y ~ P = tr (t (P)) están relacionadas también por la transformación isotómica. Esto se discute en IsogonalGeneralized.html . 
[3] Todas las cónicas que circunscriben un triángulo se pueden describir / generar de estas dos maneras. Esta doble generación tiene muchas consecuencias estudiadas en las referencias dadas a continuación. En IsotomicConicOfLine.html se incluye información sobre la relación de las dos formas de generación de la cónica (c) .
[4] La notación utilizada aquí se ajusta a la utilizada por Steve Sigur (ver la referencia a continuación): 
tr (P), tr (L) denota el tripolar (línea), tripol (punto), 
t (P) = Q el isotómico conjugado de P, 
~ P = tr (t (P)) la línea dual de P.