GEOMETRÍA DINÁMICA

Relación cruzada compleja (ABCD) = ((AC) / (BC)) / ((AD) / (BD))

Relación cruzada compleja de cuatro puntos (ABCD) = ((AC) / (BC)) / ((AD) / (BD)). 
1) (ABCD) es real si todos los puntos están en un círculo o línea. 
2) Asumiendo los puntos en una cónica (elipse), dibuje las tangentes en estos puntos. Sean A *, B *, C *, D * las intersecciones correspondientes de estas tangentes con una quinta tangente e de la cónica. Luego establezca cr = (A * B * C * D *). 

Calcule la relación cruzada cr, utilizando la herramienta de usuario [ComplexCrossRatio], encontrada y compilada en el archivo [EUC_Scripts \ EUC_User_Tools \ ComplexCrossRatio.txt]. La relación cruzada es real, por lo tanto, el punto que lo representa se encuentra en el eje real. (cr) permanece invariante en el eje real (fijo), ya que P se mueve en la cónica. 
(cambie a la herramienta de selección de contorno (CTRL + 2), capture y modifique P, A, B, C, D). 

Una imagen de otro caso interesante, relacionado con una cónica, se da en el archivo: Complex_Cross_Ratio2.html .

Por la polaridad con respecto a la cónica, las líneas corresponden a puntos y puntos a líneas, la relación cruzada de cuatro puntos en una línea se transforma en una relación cruzada igual de cuatro líneas a través de un punto. En particular, las tangentes AA *, BB *, ... etc. se asignan a A, B, ... etc. mientras que los puntos A *, B *, ... se asignan a las líneas (no mostradas) AP, BP,. .. etc. Por lo tanto, la relación cruzada (A * B * C * D *) se transforma en la relación cruzada (igual) de las cuatro líneas AP, BP, ... etc. Esto, a su vez, es independiente de la posición de P en la cónica. 
Una aplicación interesante de este hecho se puede ver en el archivo ParabolaProperty.html .

Interpolacion cubica

Dados cuatro puntos A, B, C, D, hay una curva cúbica paramétrica p (t) = q0 + q1 * t + q2 * t ^ 2 + q3 * t ^ 3, pasando por los puntos A = p (0) , B = p (1), C = p (2), D = p (3). Su forma es controlada por el cuadrilátero con vértices en A, B, C, D. La figura y su dependencia dinámica se construyen en EucliDraw a través de [user-tool]. El script correspondiente está contenido en el archivo [EUC_Scripts \ EUC_User_Tools \ CubicFitting4]. La figura está relacionada con la del archivo ParametricCubic.html .

Hay un sistema lineal que expresa los coeficientes q1, q2, ... como funciones de A, B, C y D. Los coeficientes de la matriz del sistema son potencias de los números enteros 0, 1, 2, 3, siendo la matriz Un caso especial del conocido tipo Vandermonde. El script utiliza la inversa de la matriz especial de Vandermonde correspondiente. 

El script y la figura podrían generalizarse a curvas paramétricas de n grados de la forma:

La determinación del Ai a partir de los puntos de interpolación n + 1 requeriría la inversión de una matriz (n + 1) x (n + 1) de tipo Vandermonde.

 Cúbico a partir de dos cónicas tangente e intersecante.

Considere dos cónicas {c ₁ , c ₂ } que tienen una tangente común en un punto A y que también se intersecan en dos puntos {B, C}. Luego, para cada línea a través de A que interseca los cónicos en {F ₁ , F ₂}, las tangentes en estos puntos se intersecan en un punto H en la línea BC. 
Sean {P ₁ , P ₂ } los puntos de intersección de las tangentes a las cónicas {c ₁ , c ₂ } en sus puntos {F ₁ = A + p ₁ E, F ₂ = A + p ₂ E} con la línea m. Los puntos {F ₁ , F ₂ } se encuentran en una línea variable AE, E = B + kC. El punto de intersección G (k) de las líneas {F ₁P ₂ , F ₂ P ₁ } describe un paso cúbico a través de los puntos {A, B, C, D}.

La discusión aquí es una continuación de la de ConicsTangentIntersecting.html donde se demuestra la primera parte de la afirmación. Para la conveniencia, repito algunos hechos de esta discusión aquí: 
Sea D el punto de intersección de la tangente (m) común con la línea BC. Utilizo una base proyectiva que consiste en {A, B, C, K}, siendo K algún punto en el conjugado armónico de la línea AD con respecto al par de líneas {AB, AC}. Esto simplifica algunos cálculos hechos a continuación. 
En este sistema (ver ProjectiveBase.html ) los puntos {A, B, C, K} tienen coordenadas correspondientes {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1, 1,1)}. 
El punto de intersección D 'de AK con BC tiene en este sistema la representación D' = B + C y D = BC.
Luego, la línea m = AD se describe mediante la ecuación: y + z = 0 y la línea m '= AD' mediante la ecuación y - z = 0. Las 
cónicas c ₁ y c ₂ pertenecen a la familia generada por las dos cónicas degeneradas que consisten en pares de líneas: 
c: yz = 0 (líneas AC, AB) y c ': x (y + z) = 0 (líneas BC, m). 
El c cónica general _t de esta familia es determinada por un parámetro (t) en: 
c _t : yz + tx 0 => yz + txz + TXY = 0. (y + z) = 
Sea E un punto en la línea BC: E = B + kC. El segundo punto de intersección F de c _t con la línea AE: F = A + pE se determina introduciendo F en la ecuación cónica. Posteriormente, escrito en forma cuadrática con la matriz M:

c (F, F) = 0 => c (A + pE, A + PE) = 0 => 2pc (A, E) + p ² c (E, E) = 0 => p = 2C (A, E) / c (E, E). 
Este reemplazo de E = B + kC y hacer las multiplicaciones matriciales implica 
p = -2c (A, B + kC) / c (B + kC, B + kC) = -c (A, B + kC) / (kc (B , C)) = -t (1 + k) / k. 
En el otro lado, la tangente de la cónica en F está dada por la ecuación c (F, X) = 0. 
Su punto de intersección con la línea BC se encuentra al reemplazar H = B + rC en la última ecuación: 
c (F, B + rC ) = 0 => c (A + pE, B + rC) = 0 => c (A + p (B + kC), B + rC) = 0 => c (A, B) + rc (A, C) ) + pkc ​​(C, B) + rpc (B, C) = 0. 
Introduciendo los valores de la matriz obtenemos: t + rt + pr + pk = 0 => r = - (pk + t) / (p + t) = -k ² . 


Tomando el punto E = B + kC en BC como antes, los cálculos anteriores muestran que 
{p ₁ = -t₁ (1 + k) / k, p ₂ = -t ₂ (1 + k) / k}. 
El punto A en términos de F (constante multiplicativa de módulo) es 
A = p ₂ F ₁ - p ₁ F ₂ . Y el conjugado armónico I de A con respecto a {F ₁ , F ₂ }: 
I = p ₂ F ₁ + p ₁ F ₂ = ... = (p ₁ + p ₂ ) A + 2p ₁ p ₂ E. 
Usando el cálculo de la sección anterior para H = Bk ² C
el punto de intersección J de la línea HI con la línea m: y + z = 0 resultados al aplicar y + z = 0 a la expresión paramétrica para la línea 
HI: (B -k ² C) t + (p ₁ + p ₂ ) A + 2p ₁ p ₂ (B + kC). 
t -k ² t + 2p ₁ p ₂ + 2p ₁ p ₂ k = 0 => t = 2p ₁ p ₂ / (k-1). 
Por lo tanto, J = Ht + I => H = (1 / t) (J - I) => 
G = (1 / t) (J + I) = (1 / t) (Ht + 2I) = H + (2 / t) I = H + ((k-1) / (p ₁ p ₂ )) ((p ₁ + p ₂ ) A + 2p ₁ p₂ (B + kC)) => 
G (k) = [k (1-k) (t ₁ + t ₂ ) / (t ₁ t ₂ )] A + [(2k-1) (1 + k)] B + [k (k-2) (k + 1)] C . 
Se ve fácilmente que para k uno de {-1, 0, infinito, 1} el valor de G es correspondientemente {A, B, C, D}. 
Observación Tenga en cuenta que la cúbica depende solo de la relación s = t ₁ / t ₂ de los parámetros, por lo tanto es la misma que la cúbica resultante de t ₁ = s y t ₂ = 1, la segunda corresponde a la cónica con perspector K.

 2. Tangentes a la cubica.

La tangente de la cúbica en A es la línea m = AD. Las tangentes a la cúbica en los puntos {B, C, D} se encuentran en un punto de la línea AK. 
D es un punto de inflexión de la cúbica. 


La afirmación sigue calculando la dirección de la tangente en un punto de la curva utilizando la parametrización de la sección anterior. De hecho, la tangente en un punto (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) de una curva f (x, y, z) = 0 está dada por ux + vy + wz = 0, con

Estos coeficientes pueden encontrarse a partir de la forma paramétrica de la curva G (k) = (G _x (k), G _y (k), G _z (k)) y las relaciones:

Los primeros resultados de la fórmula de Euler para funciones homogéneas y el segundo es la regla de la cadena. Por lo tanto, los coeficientes de la tangente en G (k) están dados por un producto vectorial (G _x , G _y , G _z ) x (G ' _x , G' _y , G ' _z ). Teniendo en cuenta que 
G '(k) = [(1-2k) (t ₁ + t ₂ ) / (t ₁ t ₂ )] A + [4k + 1] B + [3k ² -2k-2] C
we encuentre que (por brevedad, tomando T = (t ₁ + t ₂ ) / (t ₁ t ₂ )): 
- Tangente en A (k = -1): y + z = 0,
- Tangente en B (k = 0): 2x + Tz = 0, 
- Tangente en C (k = infinito): 2x + Ty = 0, 
- Tangente en D (k = 1): 4x + Ty + Tz = 0. 
La primera tangente es la línea m = AD. Los otros tres se intersecan en el mismo punto (-T, 2, 2) que se encuentra en AD ': yz = 0. 
Aplicando la ecuación de la tangente en D: f (x, y, z) = 4x + Ty + Tz en un punto G (k) del cúbico encontramos f (G (k)) = (k-1) ³ . De ello se deduce que cerca de k = 1 la curva tiene puntos en ambos lados de la tangente, por lo que D es una flexión. 

 3. El nodo del cúbico.

El cúbico tiene un nodo que se encuentra en la línea AD '. 

De hecho, como el cúbico es racional, es singular y tiene un nodo. Para probar la afirmación, aplique la fórmula yz = 0 para la línea AD 'a G (k) para obtener la ecuación (k + 1) (k ² -4k + 1) = 0, con raíces:

La primera solución corresponde al punto A y las otras dos soluciones definen el mismo punto (-T, 3,3) en la curva. Esto es visto por un simple cálculo.