GEOMETRÍA DINÁMICA

 Relación Cruzada

La relación cruzada de cuatro puntos {U, V, X, Y} en una cónica (c) se puede definir utilizando una buena parametrización en ella. De hecho, tome una línea arbitraria (e) y un punto C adicional en la cónica y defina (UVXY) que sea igual a la relación cruzada (U'V'X'Y '). Al seleccionar otra parametrización en la misma u otra línea (e '), la "función de transición" correspondiente de las parametrizaciones es una relación homográfica y = g (x) en las coordenadas de la línea de (e, e'). Estas relaciones preservan las relaciones cruzadas, por lo tanto (U'V'X'Y ') = (U''V''X''Y' ') y la definición es independiente de la parametrización particular utilizada. Esto significa que es independiente de la línea (e) y la ubicación del punto C en la cónica.

 2. El lema de Haruki

Si AB y FD son acordes sin intersección en un círculo y si P es un punto variable en el arco AB remoto desde F y D, entonces, para cada posición de P, las líneas PF y PD cortan AB en tres segmentos de longitud x, y, z, donde xz / y es constante. 

Denote por d = | AB |. Entonces (x / y) :( d / z) es la relación cruzada de los cuatro puntos {A, D, F, B} medidos en la línea AB, y esto es independiente de la posición de P. Obviamente, la propiedad se extiende a los acordes de las cónicas. La reducción de la propiedad a la relación cruzada de cuatro puntos en una cónica se debe a Bankoff.

Relación cruzada

Dada una línea (e) y cuatro puntos A, B, C y D, la relación cruzada de estos cuatro puntos se define mediante la ecuación: 
(ABCD) = ((ac) / (bc)) / ((ad ) / (bd)). 
El lado derecho de esta ecuación se define como la relación cruzada de cuatro números reales . Aquí identificamos el punto con su coordenada de línea relativa a un sistema de coordenadas arbitrario de la línea. es decir, al fijar dos puntos O, E en la línea, medimos la ubicación de un punto arbitrario X por el número x = OX / OE (puede ser negativo). Así, los puntos A (a), B (b), C (c) y D (d) definen las coordenadas respectivas a, b, c y d. 

La definición es independiente de la ubicación de O y E, es decir, independiente del sistema de coordenadas de línea especial. De hecho, al cambiar el sistema de coordenadas a otro (definido por otros dos O ', E'), la nueva coordenada x 'se relaciona con la antigua por una relación de la forma x = H (x) = m * x' + n, myn son constantes apropiadas. La clave es que al sustituir esta expresión de x en la fórmula obtenemos el mismo número expresado en las otras coordenadas, es decir,

Más generalmente, la relación cruzada de cuatro números (abcd) = ((ac) / (bc)) / ((ad) / (bd)) es invariante bajo las funciones lineales rotas x = h (x) = (m * x ' + n) / (p * x '+ q) y esto hace posible generalizar la relación cruzada para cuatro puntos A, B, C y D que se encuentran en una cónica (consulte CrossRatio.html ). 
Las relaciones entre dos variables de la forma anterior: x = h (x) = (m * x '+ n) / (p * x' + q), con determinante distinto de cero (m * qn * p) se denominan relaciones homográficas y se estudian en HomographicRelation.html .
La definición permite que se tome un número en el infinito. Si toma d en el infinito, la relación cruzada se reduce a (ac) / (bc). Tomando más c = 0, esto equivale a a / b. Por lo tanto, la proporción de dos números es la relación cruzada (ab0I), que representa el infinito . 
Es sorprendente la cantidad de hechos geométricos que dependen de la relación cruzada y sus propiedades. De hecho, se puede demostrar que la relación cruzada, considerada como una función de cuatro puntos (variables), es el único invariante de la geometría proyectiva. Por lo tanto, uno puede esperar encontrarlo detrás de cada relación de incidencia entre puntos y líneas. Esto se verifica en el caso del teorema de Pascal (ver Pascal.html ). 
A continuación se da una lista de propiedades de la relación cruzada.

 Propiedades de la relación cruzada de cuatro números reales.

[1] Dados 3 números reales diferentes por pares x ₁ , x ₂ , x _3, la función y = f (x) = (x ₁ x ₂ x ₃ x) define una relación homográfica invertible, cuya gráfica es una hipérbola rectangular. 
[2] Dados tres pares de números reales (x ₁ , y ₁ ), (x ₂ , y ₂ ), (x ₃ , y ₃ ) en la ecuación de posición general (y ₁ y ₂ y ₃ y) = (x ₁ x ₂ x ₃ x) define la relación homográfica única y = f (x), tal que f (x ₁₎) = y ₁ , f (x ₂ ) = y ₂ , f (x ₃ ) = y ₃ . 
[3] Cada permutación que es producto de dos transposiciones de las letras a, b, c, d deja invariante la relación cruzada, es decir 
(abcd) = (badc) = (cdab) = (dcba). De ahí a partir del 4! En las permutaciones totales de las 4 letras, solo 6 dan valores diferentes. 
[4] (abdb) = (abcd) ^-1 y (acbd) + (abcd) = 1. Si sigue eso: 
[5] Si (abcd) = k, entonces 
(abdc) = k ^-1 , 
(acbd) = 1-k, 
(acdb) = 1 / (1-k), 
(adbc) = (k- 1) / k, 
(adbc) = k / (k-1).
[4] Los cuatro números a, b, c, d son diferentes en pares si y solo si (abcd) tiene un valor diferente de 1, 0 e I (infinitud). 
[5] Además de estas fórmulas, surgen fórmulas importantes en el caso (abcd) = -1, es decir, cuando los números crean un conjunto armónico de puntos (consulte Harmonic.html ).

 Propiedad básica de relación cruzada de cuatro puntos.

Tome cuatro puntos A, B, C, D en una línea (e) y un quinto punto E en el exterior (e). Luego, la relación cruzada tiene una interpretación en términos de los ángulos en E de las líneas EA, EB, EC, ED. Hablamos sobre el paquete de líneas en E y denotamos con E (ABCD) la relación correspondiente. La dependencia de E (ABCD) desde los ángulos solo muestra que una segunda línea (g) que inserta las cuatro líneas EA, EB, EC, ED define la misma relación cruzada.

Consulte el archivo CrossRatioLines.html para ver la versión de relación cruzada para un paquete de cuatro líneas concurrentes.

Razón cruzada de cuatro líneas concurrentes

La relación cruzada de cuatro líneas concurrentes EA, EB, EC, ED se define mediante la intersección de las cuatro líneas a través de una quinta, digamos, y tomando la relación cruzada de los puntos de intersección (consulte CrossRatio0.html ). Hablamos sobre el lápiz de las líneas en E y denotarlo (y, por momentos, también denonte la relación cruzada con el mismo símbolo) por E (A, B, C, D) . 

La relación cruzada tiene una interpretación en términos de los ángulos de las líneas EA, EB, EC, ED en E. La dependencia de E (A, B, C, D) desde estos ángulos muestra que una segunda línea (g) que interseca los cuatro Las líneas EA, EB, EC, ED definen la misma relación cruzada.

 2. Criterios de coincidencia de relación de cruce

Las siguientes dos propiedades relacionadas con la relación cruzada de un lápiz de líneas E (ABCD) tienen aplicaciones importantes. 

(I) Si dos líneas e, e 'llevan cada cuatro puntos con la misma relación cruzada, (ABCD) = (A'B'C'D'), y dos puntos correspondientes coinciden (B = B ', es decir, e, e 'se intersecan en B = B'). Luego las líneas que unen los puntos correspondientes pasan por el mismo punto E.

(II) Si dos lápices de línea E (ABCD), E '(A'B'C'D') tienen una línea común (fe EC = E'C '), entonces los otros pares de líneas homólogas se intersecan en tres puntos colineales.

Las dos proposiciones son duales entre sí y triviales de probar. Considere fe en la segunda línea de propiedad e de los puntos de intersección de pares (EA, E'A ') y (EB, E'B'). Luego, por la invariancia de la relación cruzada en e, el punto de intersección de e con ED debe coincidir con el de E'D '. La primera propiedad puede servir como base para una prueba simple del teorema de Pascal sobre hexágonos inscritos en cónicas (ver Pascal.html ).

 3. Lápices armónicos (o haces) de líneas.

Un lápiz de cuatro líneas a través de un punto E, E (A, B, C, D) se llama armónico si la relación cruzada de las cuatro líneas (en ese orden) es -1. 
Un ejemplo prominente de lápiz armónico consiste en un ángulo y sus dos bisectrices.

Otro ejemplo destacado es el relacionado con un cuadrilátero completo ABCD. Esto se crea fijando cuatro puntos en la posición general. Tiene seis lados resultantes por todas las combinaciones de los puntos por dos. También define tres puntos adicionales (a continuación etiquetados por {E, F, G}) denominados puntos diagonales . Las tres líneas a través de los puntos diagonales se llaman diagonales . En cada punto diagonal, los dos lados concurrentes y las dos diagonales forman un lápiz armónico. Así, en el siguiente ejemplo, F (A, B, G, E), E (A, D, F, G), G (C, D, F, E) son lápices armónicos. La razón de esto se puede encontrar en Harmonic.html .

Un tercer ejemplo de lápiz armónico de cuatro líneas es el formado por dos lados {AB, AC} de un triángulo ABC, la AD correspondiente a la mediana y la AE paralela correspondiente a la base BC. Este y otros ejemplos de lápices armónicos se examinan en el archivo Harmonic_Bundle.html .

 4. Conjugación armónica de líneas.

Dadas las cuatro líneas a través del origen en la forma {a _i x + b _i y = 0, i = 1, .., 4}, su relación cruzada puede verse como

En particular, si las líneas se dan en la forma {y = a _i x, i = 1, .., 4}, entonces su relación cruzada viene dada por

En particular, si las líneas forman un lápiz armónico, entonces la última relación es -1. Se produce una transformación interesante cada vez que se dan dos líneas fijas, por ejemplo, determinadas por sus coeficientes correspondientes {a ₁ , a ₂ }. La transformación se denomina conjugación armónica con respecto a las dos líneas dadas y corresponde a cada una de las líneas y = a ₃ x, la cuarta línea única y = a ₄ x, de manera que las cuatro líneas forman un lápiz armónico. Al equiparar la relación anterior a -1 y resolver un ₄ (en términos de ₃ ) encontramos la ecuación.

Esta es una transformación involutiva de Moebius (ver Involution.html ) cuyo determinante es igual a (a ₁ -a ₂ ) ² , que es distinto de cero si las dos líneas iniciales son diferentes. Por lo tanto, la conjugación armónica con respecto a las dos líneas iniciales se describe mediante una transformación de Moebius involutiva de los coeficientes de línea, la transformación de Moebius a su vez está determinada por los coeficientes de las dos líneas dadas.