GEOMETRÍA DINÁMICA

Resolviendo un cúbico gráficamente.

Siguiendo [Adler, p.250], la solución gráfica de la ecuación cúbica 
                                                                     x ³ + ax ² + bx + c = 0, 
se puede reducir a la ubicación de los puntos de intersección de las dos cónicas 
                                                                     y = x ² , 
                                                                     yx + ay + bx + c = 0. 
La primera es siempre la misma parábola conocida. El segundo es una hipérbola rectangular que se describe en detalle en Rectangular_Hype_From_Line.html .
Su centro está en (-a, -b) y sus asíntotas son paralelas a los ejes. Los coeficientes (a, b) están en orden inverso a los de la referencia anterior. 
La siguiente figura ilustra el método: 
1) Primero dibuje la línea bx + ay + c = 0 y encuentre sus puntos de intersección {A, B} con los ejes. 
2) Luego encuentre sus simetrías {A ', B'} con respecto a (-a, -b). 
3) Encuentre el ortocentro H de uno de los triángulos formados por el paralelogramo ABB'A 'y sus diagonales (aquí BAB'). 
4) Pase una cónica a través de los cinco puntos {A, B, A ', B', H}. Esto coincide con yx + ay + bx + c = 0. 
5) Dibuja la parábola y = x ² . 
6) Encuentre el (los) punto (s) de intersección (s _x , s _y ) de las dos curvas. Numero s _x Es una raíz de la ecuación original.

					Función cúbica La ecuación cúbica general resulta al igualar a cero el polinomio cúbico general                                                                           f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d.   La gráfica de tal función se da a continuación. Para cúbicos genuinos con coeficiente no cero a, dividiendo a través de a y eliminando los primos de b '= b / a, c' = c / a, d '= d / a lleva a                                                                                x 3 + bx 2 + cx + d = 0.  2. Ecuación cúbica reducida. La ecuación cúbica reducida tiene la forma                                                                   x 3 + px - q = 0,  y resulta de la anterior al eliminar el término cuadrático. Esto se hace traduciendo el origen a través del cambio de la variable                                                                    x = x '- (b / 3).  Al introducir esto en la ecuación de la sección anterior y hacer el cálculo, se obtiene p = (3c-b 2 ) / 3,                                                                 q = (9bc - 2b 3 - 27d) / 27.  La gráfica de la función f (x) = x 3+ p * xq tiene un solo punto de inflexión en K = (0, -q), que también es un centro de simetría de la curva representada por el gráfico. Con respecto a la ecuación f (x) = 0, podemos suponer que p <0 font=""> , el mínimo relativo de la función entonces ocurre en sqrt (-p / 3). La condición de que la ecuación x 3 + p * xq = 0 tenga solo una raíz real es equivalente a la condición de que el mínimo en este punto sea mayor que cero, lo que lleva a la desigualdad                                                                  D = (p / 3) 3 + (q / 2) 2 > 0.  En consecuencia, la ecuación tiene tres raíces reales solo cuando                                                                   (p / 3) 3 + (q / 2) 2 <= 0.    La sustitución de las expresiones para (p, q) da como resultado la ecuación                                                  (27 * d 2 + (4 * b 3 -18 * b * c) * d + 4 * c 3 -b 2 * c 2 ) <= 0 .  Una interesante aplicación de esta desigualdad ocurre en el problema de construir un triángulo a partir de los llamados invariantes fundamentales , que son los números {s, r, R} (medio perímetro, radio, circuniano), manejados en Fundamental_Invariants.html .  En este caso, las longitudes laterales del triángulo aparecen como las tres soluciones reales de una ecuación cúbica (consulte la sección 4 de GIO_Cnstruction.html ). Los coeficientes de este cúbico son                                                    b = -2s,                                                    c = (s 2 + r 2 + 4Rr),                                                    d = -4Rrs.   La sustitución de estos en la desigualdad anterior conduce a la condición necesaria para los tres {s, r, R} para determinar un triángulo:                                (64 * r * R 3 -4 * s 2 * R 2 + 48 * r 2 * R 2 -20 * r * s 2 * R + 12 * r 3 * R + s 4 + 2 * r 2 * s 2 + r 4 ) <= 0 . La gráfica de la función anterior depende de la posición del punto rojo. Las coordenadas de este punto sirven para definir el par (p, q).