domingo, 9 de diciembre de 2018

GEOMETRÍA DINÁMICA

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Triángulos autopolar o auto-polares.

El triángulo ABC es autopolar con respecto a un círculo (c) si cada línea lateral del triángulo es el polar del vértice opuesto. 


Dado un círculo (d) y un punto C, construya la línea polar c de C con respecto a d. Luego tome cualquier punto A en esta línea y defina el polar (a) de A con respecto a c. La línea a se interseca con c en un punto B. El triángulo ABC es un Autopolar (o auto-polar o conjugado o polar) con respecto al círculo (d). 
El círculo (d) se llama círculo conjugado del triángulo. A continuación se discuten algunas propiedades elementales de los triángulos autopolares.

[0_0][0_1]
[1_0][1_1]

[1] Cada triángulo autopolar t = ABC se define mediante el procedimiento descrito anteriormente. 
[2] Todos los triángulos autopolar tienen un vértice único dentro del círculo (d) y dos fuera. 
[3] Son obtusos y tienen un centro ortográfico del centro O del círculo (d). 
[4] Sus circuncentros Q están a una distancia | CO | / 2 de la línea (c), opuesta al ángulo obtuso. 
[5] La inversión F con respecto a d invierte el circuncírculo (e) al círculo de Euler (f) de t. 
[6] El círculo (d) pertenece al conjunto de círculos coaxiales I (e, f) del tipo de intersección generado por el circuncírculo (e) y el círculo de Euler (f) del triángulo t. 
[7] La ​​propiedad anterior, junto con la propiedad (3) de O, define de manera única el círculo (d) a partir de los datos del triángulo t. 
[8] Las tangentes AA 1, AA 2 de A a (d) tienen puntos de contacto a lo largo de la línea BC y son conjugados armónicos a B, C. La propiedad análoga se mantiene para las tangentes a (d) de B. 
[9] Las propiedades anteriores implican que cada triángulo obtuso es autopolar con respecto a un círculo determinado de forma única que coincide con el que define una inversión intercambiando el circuncírculo y el círculo de Euler. 

La propiedad (5) se deriva del hecho de que los productos de longitudes OA * OF = OB * OE = OG * OC = r 2Por lo tanto, la inversión con el centro O y el radio r mapea el circuncírculo al círculo de Euler. Queda por mostrar que el círculo (d) tiene el radio r. Pero esto se desprende de la definición de los hechos polares y básicos sobre las tétradas armónicas. De hecho, extienda GC para definir sus puntos de intersección X, Y con el círculo (d). Dado que c es el polar de C, (X, Y, C, G) = -1 es una tétrada armónica y esto implica OX 2 = OC * OG = r 2 . (5) y (6) son consecuencias de esta propiedad. Las otras propiedades son fáciles de mostrar.

[un logo] 2. Otra construcción característica.

Otra forma de generar triángulos auto-polares es la siguiente: considere un triángulo ABC y un punto P en su circunferencia. El ceviano triángulo A'B'C' de P es decir, el triángulo formado por la unión P a los vértices y que corta los lados opuestos del ABC es un triángulo auto-polar. 
Esto se deduce del método básico mediante el cual construimos polares (ver Polar2.html ). De acuerdo con esto, considerando el cuadrilátero ABCP y viendo {A ', C'} como intersecciones de sus lados opuestos, vemos que B'C 'es el polar de A' y B'A 'es el polar de C'. De esto se deduce que A'C 'es el polar de B'.

[0_0][0_1][0_2]
[1_0][1_1][1_2]
[2_0][2_1][2_2]

Algunas propiedades adicionales de esta configuración son las siguientes: 
[1] Los lados del triángulo auto-polar A'B'C 'pasan a través de los vértices del triángulo tangencial A''B''C' '. 
[2] Los pares de lados de A'B'C 'y A''B''C' 'se intersecan en la tangente en P (a saber, (A'B', A''B ''), (B'C ' , B''C ''), (C'A ', C''A' ')). 
[3] Los triángulos A'B'C 'y A''B''C' 'son una perspectiva desde un punto P' que es el tripol de la tangente en P con respecto a A'B'C '. 
[4] P ' se encuentra en el eje de Lemoine del triángulo ABC y también es el tripolo de la tangente en P con respecto al triángulo tangencial A''B''C ''. 
Las propiedades enumeradas aquí se refieren a un caso especial de configuración más general que se describe en Autopolar2.html .
Nota-1 La definición y las propiedades de las tétradas armónicas de puntos en una línea se describen en Harmonic.html . La definición y las propiedades de los polares se describen en el archivo Polar.html . Una discusión sobre la inversión intercambiando dos círculos de intersección dados se puede encontrar en MidCircles.html . 
Nota: Los triángulos autopolares aparecen naturalmente en los productos G * F de perspectividades que son conmutativas (F * G = G * F); consulte el archivo FourPointsCyclic.html para una breve discusión. 
Remark-3 Los triángulos autopolares se definen también con respecto a una cónica. Ver Autopolar2.html para la definición más general, así como la generalización de las propiedades de la sección-2.













Triángulos autopolar o auto-polares.

Un triángulo es autopolar o autopolar con respecto a una cónica si cada línea lateral del triángulo es el polar del vértice opuesto. 

Aquí estudio los triángulos autopolar A'B'C 'creados como triángulos cevianos de puntos P en una circunferencia c R de un triángulo de referencia ABC. Estos triángulos generan una secuencia completa de cónicas y otros triángulos auto-polares. Cualquiera de los dos triángulos de esta secuencia son en perspectiva y todas las cónicas son tangentes a c R en su punto P. 

[1] El punto inicial es un triángulo de referencia ABC y un punto R que define una c R circónica con este punto como perspector. 
[2] A''B''C '' denota el correspondiente triángulo tangencial a c Rcon perspector R. L = tr (R) denota el polar trilineal de R con respecto a ABC, que es lo mismo con el tr '' (R) polar trilineal de R con respecto a A''B''C ''. 
[3] A'B'C 'denota el triángulo ceviano de un punto P en c R con respecto a ABC. p denota la tangente a c R en P. 
Las siguientes propiedades relacionadas con esta configuración son válidas: 

[4] t p es el tr '' (P ') polar trilineal con respecto a A''B''C' 'de un punto P 'en L. También es el trilineal polar tr' (P ') del mismo punto P' con respecto a A'B'C '. 
[5] Triángulo A''B''C '', la perspectiva y sus líneas laterales pasan a través de los vértices de ABC. 
[6] El perspector es punto P' en L y el eje de perspectivity ( Desargues.html ) es la tangente t P . 
[7] La ​​perspectividad H con centro P ', eje de la línea t P y coeficiente de homología -0.5 (ver Perspectividad.html ) mapea el triángulo A''B''C' 'a A'B'C'. 
[8] La misma perspectiva mapea R a un punto R 'y triángulo ABC a un triángulo A 0 B 0 C 0 . El polar trilineal de R 'con respecto a los dos triángulos A'B'C' y A 0 B 0 C 0 es nuevamente la línea L.
[9] Por lo tanto, el conjunto de triángulos / puntos / líneas {A 0 B 0 C 0 , A'B'C ', P, t P , P', L} tiene elementos relacionados a través de las mismas relaciones que el conjunto {ABC, A''B''C '', P, t P , P ', L}. La circunferencia c R 'de A 0 B 0 C 0 con perspector R' es la imagen de c R bajo la perspectiva H. Las cónicas c R yc R 'son tangentes en P. 
[10] Aplicando la perspectividad repetidamente a los triángulos ABC, A 0 B 0 C 0= H (ABC), ... obtenemos una secuencia de triángulos, todas las perspectivas a ABC y una secuencia de circulares c R , c R '= H (c R ), ... todas tangentes a t P en P. 
[11 ] Aplicando análogamente la perspectividad H a ​​los triángulos A''B''C '', A'B'C '= H (A''B''C' '), ... obtenemos una secuencia de triángulos con todas las perspectivas para A''B''C '', todos pasan a través de dos puntos de la línea t P y con perspectores R, R '= H (R), .... 

[0_0][0_1][0_2][0_3]
[1_0][1_1][1_2][1_3]
[2_0][2_1][2_2][2_3]
[3_0][3_1][3_2][3_3]

Las pruebas de estas propiedades se derivan de las propiedades correspondientes en el caso en el que ABC es equilátero, R es su centro, c R es su circuncírculo y P un punto en este circuncírculo. Para reducir a ese caso, simplemente use la proyectividad F bien definida que mapea los vértices de ABC a los vértices del equilátero y los mapas también apuntan R al centro del equilátero. Luego, la línea L = tr (R) se asigna a la línea en el infinito y la configuración se traduce a la estudiada en IncircleTangents.html . Las propiedades aquí se traducen a las propiedades allí, estudiadas en la sección 2, y las pruebas se desprenden de su invarianza proyectiva inherente.

[un logo] 2. El caso de Steiner.

Aplique la discusión previa a la configuración particular resultante de un triángulo ABC, su elipse de Steiner exterior (c) y un punto P en él. En este caso, el perspector R de la cónica inicial coincide con el centroide G del triángulo. El punto P 'es un punto en el infinito y la perspectividad H se convierte en una afinidad. H se caracteriza por dejar t P fijo en el sentido y mapear cada punto Q a un punto Q '= H (Q) de modo que QQ' está en la dirección que define el punto en el infinito P 'y QQ' se divide por t P en un punto Q 0 tal que QQ 0 / Q 0 Q '= 2.


[0_0][0_1][0_2]
[1_0][1_1][1_2]

En esta configuración, A''B''C '' coincide con el triángulo antiparalelo de ABC y las líneas que unen los vértices correspondientes de los triángulos A''B''C '', A'B'C '= H (A''B '' C ''), ... son paralelos en la dirección que define el punto en el infinito P '. Los inconics de estos triángulos son las elipses internas de Steiner correspondientes. En este caso, también P es el conjugado isotómico de P 'con respecto a cualquier triángulo de la secuencia definida anteriormente (consulte la sección 10 de IsogonalGeneralized.html ). 
La figura anterior está relacionada con las propiedades de las parábolas inscritas en el triángulo ABC. Todas estas parábolas tienen perspectores P que se encuentran, como arriba, en la elipse Steiner de ABC.















 Circulo auxiliar

Dada la elipse con los ejes a = HE, b = HI (a> b) y la ecuación x² / a² + y² / b² = 1. Los puntos D, E se llaman vértices . El círculo auxiliar de la elipse es el que tiene un diámetro DE. Para cada punto A en la elipse, la línea vertical GA intersecta el círculo auxiliar en un punto F, definiendo el ángulo excéntrico phi = ángulo (EHF) del punto A. Para las coordenadas (x, y) de A tiene x = a * cos (phi) y y = b * sin (phi). El primero es obvio, ya que HF = HE = a. El segundo se desprende de la relación:

[0_0][0_1][0_2]
[1_0][1_1][1_2]

En el otro lado, FG² = DG * GE, por lo tanto, AG² / b² = FG² / a², o AG / FG = b / a. Por lo tanto, FG = a * sin (phi) implica el AG = y = b * sin (phi). 
Esta propiedad también dicta una forma de construir la elipse con los ejes a y b. Comience con un círculo de radio a, seleccione un diámetro DE y desde cada punto F del círculo dibuje la FG perpendicular en DE. En él, seleccione A, de modo que AG / FG = b / a, donde 0 Entonces el lugar geométrico de los puntos A es una elipse con ejes a y b. 
No es necesario tomar el eje de proyección para que sea un diámetro del círculo. Uno puede producir la misma elipse (congruente) proyectando F en una línea arbitraria. Este ejercicio se discute en Ellipse_Construction2.html .
La intersección de las líneas I'J ', I''J' 'en un punto K del eje mayor es una consecuencia inmediata de la discusión. Una propiedad análoga se aplica también a los puntos de intersección con líneas ortogonales al eje menor (aquí el vertical) de la elipse. 

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