GEOMETRÍA DINÁMICA

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Tres cónicas asociadas a una circunferencia.

Considere un triángulo ABC arbitrario y una k circunfónica con perspector en el punto S. Seamos el polar trilineal de S con respecto a ABC. Los puntos {A *, B *, C *} son, respectivamente, las intersecciones de {AS, BS, CS} con s, y los puntos {A ₀ , B ₀ , C ₀ } son los otros puntos de intersección de las mismas líneas con la circunferencia k. Fijar un vértice, A say y su lado opuesto BC. Los siguientes resultados son válidos también para las construcciones correspondientes en relación con los otros lados. 
[1] La cónica k _A tangente a las líneas {AB, AC} en {B, C} y el paso a través de A * es tangente allí a la polaridad trilineal s. 
[2] El punto P varía en la línea BC y P 'es la intersección de A * P con la s polar de S con respecto a k _A. Sea también Q el otro punto de intersección de la línea A ₀ P con la cónica k. Las diagonales de PCPS cuadrilátero' se cruzan en un punto W tirado en el k cónica _A . Tenga en cuenta que la polar s 'es también el conjugado armónico de la polaridad trilineal con respecto al par de líneas A'A y A'S. 
[3] Considere el punto de intersección A ₂ que no sea A * de la línea AS con la cónica _A , luego la relación cruzada (A, A ₂ , S, A *) = 4. 
[4] Sea A ₁ la intersección de la línea AS con el s polar de S con respecto a k _A . La proyectividad F _A se define por las condiciones (i) que corrige los puntos {B, C, S} y (ii) mapea A * a A ₁. F _A es un perspectivity mapeo de la k circumconic a k _A . 
[5] Las tres cónicas definidas de manera análoga {k _A , k _B , k _C } están permutadas por el grupo diédrico generado por las tres reflexiones proyectivas {R _A , R _B , R _C }. R _A se define como la fijación de proyectividad {A, S} y el intercambio de {B, C}. R _A coincide con el perspectivity armónica con centro en A 'y el eje de la línea de AS, que es polar común de A' con respecto a ambas cónicas K y K 

 Intersección Artzt-Steiner

Considere una parábola (c) y el triángulo formado por dos tangentes AB, AC y su acorde de contactos BC. La línea FE que une los medios de AB, AC también es tangente a (c) en su centro K. Esta es una (de tres) parábola de Artzt para ABC. Para encontrar los puntos de intersección de (c) con la elipse de Steiner interna (tocando el triángulo en la parte media de los lados). 
La respuesta es: en el paralelo a BC desde el centroide a la distancia BC / (2 * sqrt (3)) desde él.

La prueba se puede reducir a una parábola canónica . Es decir, la parábola análoga cuando ABC es equilátero (se muestra a continuación). En ese caso, la elipse de Steiner es el incircle del triángulo y la intersección con la parábola se calcula fácilmente para ocurrir en estos puntos. La prueba se transfiere al caso general a través de una afinidad que asigna los vértices del equilátero a los vértices correspondientes del triángulo general. 
Ver ParabolaTrapezium.html para otro caso de aplicación de este método.

Los triángulos asintóticos

El triángulo asintótico de una hipérbola es un triángulo ABC cuyos lados son las dos asíntotas y una tangente de la hipérbola. 

Todos los triángulos asintóticos de la hipérbola tienen la misma área E, igual al producto a * b de los ejes de la hipérbola. La siguiente figura muestra que hay un círculo a través de los puntos focales de la hipérbola y los puntos A, C, donde la tangente corta las asíntotas. Los tres triángulos AEC, BCF, FBA son similares, y sus ángulos en B y E son iguales al FBA de ángulo fijo (según la hipérbola). 
Observe una propiedad del punto de contacto D de la tangente: es la mitad del segmento AC. Note también que el triángulo asintótico de la hipérbola conjugada tiene la misma área con ABC.

 2. Determinación de puntos focales.

Al conocer un triángulo asintótico ABC de la hipérbola y que su centro está en B, podemos encontrar la hipérbola completa mediante la determinación de sus puntos focales. De hecho, construya las bisectrices en B y tome las relieves {A ', C'} de {A, C} en la bisectriz exterior de B. El trapecio ACC'A 'tiene un circuncírculo c que pasa por los puntos focales {E, F} de la hipérbola. Los puntos focales son los puntos de intersección de c con la bisectriz interna del ángulo B del triángulo. 
La propiedad puede leerse inversamente como una relación entre hipérbolas e isosceli trapezia: 
dada una isósceles trapecio ACC'A 'hay una única hipérbola que tiene sus diagonales como asíntotas y el triángulo ABC como asintótico. Sus puntos focales están en las intersecciones del circuncírculo del trapecio con la bisectriz en B ... etc.AsymptoticTriangleInv.html ). 


Mire el archivo QuadDivision.html para ver una buena aplicación de estos hechos al problema de dividir un cuadrángulo en cuatro partes iguales.

 Hipérbola con triángulo asintótico dado.

Dado un triángulo ABC, hay exactamente una hipérbola tangente a su lado AC en su M media, teniendo el triángulo como asintótico, es decir, teniendo B como el centro de la hipérbola y los otros lados BA, BC como líneas asintóticas. 

La hipérbola está determinada únicamente por uno de sus puntos (M) y la ubicación de sus puntos focales D y E. Esto se hace de la siguiente manera: 
- Dibuje la bisectriz BD del ángulo en B. 
- Construya el círculo, cuyos puntos en la arco CDA ve el segmento AC bajo el ángulo = ang (EBA). 
- Los puntos de intersección D, E de este círculo con la bisectriz BD son los puntos focales de la hipérbola.

De la construcción de D, sigue que los triángulos EBA, CDA y CBE son similares. Ángulos ángulos (CAD) = ángulos (EAB), por lo tanto, EC '= CD y análogamente, EA' = AD y B es la mitad de la DE. La construcción aquí es la inversa de la descrita en el archivo AsymptoticTriangle.html . 

Observación La referencia mencionada y esta discusión implican que para un triángulo ABC con ángulo fijo (ABC) y variable AC, pero para que el área (ABC) permanezca constante, el lado AC envuelve una hipérbola.