GEOMETRÍA DINÁMICA

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El triángulo formado por las bisectrices.

Por un argumento similar a uno que define el punto de intersección I de las tres bisectrices internas (consulte Bisector0.html ), 
dos bisectrices externas y una intersección interna en el mismo punto. Tal punto es equidistante de los lados del triángulo. Por lo tanto, existen tres círculos con centros en estos puntos de intersección I _a , I _b , I _c . 
[1] El triángulo I _a I _b I _c formado por las bisectrices externas de ABC tiene las bisectrices internas como altitudes. 
[2] El triángulo original es el orto de I _a I _b I _c. Su circunferencia es el círculo de Euler de I _a I _b I _c . 
[3] Sea J _a , J _a , J _b las proyecciones en los lados del incentivo I. Deje que J _a a , J _a b , J _a c sean las proyecciones del excentador J _a en los lados y defina de manera similar J _b a , J _b b , etc. Las siguientes relaciones son válidas: 
  [3.1] | AJ _a c | = | AJ _a b | = s, donde s = (a + b + c) / 2 el medio perímetrodel triángulo. 
  [3.2] | CJ _a b | = | CJ _a a | = sb, | AJ _c | = | AJ _b | = sa. 
  [3.3] | BJ _a | = | CJ _a a | = sb, | J _a J _a a | = bc. 
  [3,4] BC y J _a J _a una tiene el mismo medio. 
[4] r ^-1 = r _a ^-1 + r _b ^-1 + r _c ^-1 .
      Aquí a, b, c denota la longitud de BC, CA, AB respectivamente. Fórmulas similares se mantienen al reemplazar los símbolos con una permutación cíclica de a, b, c. Aquí los símbolos {r, r _a , r _b , r _c } denotan los radios de in / excircles respectivamente.

[1] La ortogonalidad de la bisectriz interna a externa en C, B, A es trivial. 
[2] Consecuencia trivial de [1] (ver Orthic.html ). 
[3] Todas las relaciones son consecuencias fáciles del hecho de que las tangentes a un círculo desde un punto son iguales. 
[4] Mida el área de ABC en términos de in / exradii: area (ABC) = s * r. Tomando los triángulos con bases los lados de ABC y un vértice en I _b : 2 * área (ABC) = (c + ab) * r _b . Por lo tanto, r / r _b = (c + ab) / (2 * s). Para probar la propiedad, agregue las tres fórmulas correspondientes, resultantes de la permutación cíclica de a, b, c.  
[5] Las fórmulas probadas aquí se utilizan en Fundamental_Invariants.html para derivar expresiones como la suma de los cuadrados a ² + b ² + c ² en términos de s, r y R (que son precisamente los invariantes fundamentales del triángulo ABC ). 

 Propiedades bisectoras

Algunas propiedades adicionales de las examinadas en Bisector1.html : 
[1] La bisector AI intersecta el circuncírculo k del triángulo ABC en F, la mitad del arco AC. 
[2] Los puntos medios de los lados del triángulo de excentros I _a I _b I _c coinciden con los puntos de intersección de estos lados con el circuncírculo. 
[3] | FB | = | FC | = | FI | y ecualizaciones similares para los otros puntos análogos a F. 
[4] ángulo (AFM) = ángulo (B) -angle (C).

[1] Que F es la mitad del arco BC se sigue de la igualdad de los ángulos ABF = FAC. Además, el cuadrilátero IBEC es cíclico, ya que IBE e ICE son ángulos rectos. 
[2] Dado que I _a I _b I _c tiene ABC como su órtico. Así, siendo k el círculo de Euler de I _a I _b I _c . 
[3] Sigue de las dos declaraciones anteriores. 
[4] Considere la simetría B 'de B wr a la bisector AI: ángulo (AFM) = ángulo (B'BC) = BC. 

Con las bisectrices de un triángulo se conectan los siguientes dos teoremas importantes: 
a) Teorema de Feuerbach : que el círculo de Euler de un triángulo es tangente a su interior y sus tres círculos. 
segundo)Teorema de Steiner-Lehmus : la igualdad de dos bisectrices internas implica que el triángulo es isósceles. 
Con las bisectrices se conectan también algunas dificultades (o imposibles) para resolver construcciones de triángulos. Un caso interesante se examina en el archivo TriangleBisectorConstruction.html . 
Además, otro tema relacionado importante que agrega mucha estructura a la geometría del triángulo es el de la conjugación isogonal .

Bisectriz de cruz

Considere el triángulo ABC y su circuncírculo c. Para un punto A * que se mueve sobre c, construya el triángulo A * BC y las bisectrices AF y A * G de los dos triángulos. Considere entonces los círculos inscritos y escritos en los ángulos A y A *. Sus centros forman un rectángulo EFGH (consulte BisectorRectangle.html ). Se pueden hacer construcciones análogas para los pares de triángulos (BCA *, ACA *), (BAA *, CAA *) y (BAA *, BAC). En total esto da cuatro rectángulos formando una cruz como se muestra.

Un hecho clave es que los puntos B, G y J están en una línea. De hecho, el ángulo (GBC) es la mitad del ángulo (GIC) = ángulo (A * AC). Por lo tanto, BG debe pasar a través de la J media del arco A * C. Entonces el ángulo (FGB) es la mitad del ángulo (BIF) = ángulo (BIA), que es el doble del ángulo (JGM). Por lo tanto, F, G, M están en una línea, completando la prueba para la hermosa cruz.