GEOMETRÍA DINÁMICA

Transformacion de coordenadas II

Dados dos sistemas de líneas de intersección {OX, OY} y {OX ', OY'} hay dos sistemas de coordenadas definidos a través de proyecciones paralelas de un punto P en estos ejes: 
(i) el sistema de coordenadas (OX, OY), para el cual P se identifica con (x, y). 
(ii) el sistema de coordenadas (OX ', OY'), para el cual P se identifica con (x ', y'). 
Al extender PP _x , PP _y hasta que se intersecan {OX ', OY'} y dibujar paralelos desde estos puntos hasta {OY ', OX'} que se intersecan en P ', uno define una transformación P' = F (P). 
Estudiar las relaciones entre los dos sistemas de coordenadas, así como la transformación F.

[1] Para encontrar las relaciones entre los dos sistemas de coordenadas aplique el teorema de seno a los dos triángulos con lados {x, x '} y {y, y'} respectivamente:

(x '', y '') están aquí las coordenadas de P 'en el sistema (OX', OY '). Resolviendo para (x ', y') obtenemos el sistema de ecuaciones:

Aquí A = sin (OX ', OY'), B = sin (OX, OY ') y C = sin (OX', OY). La relación entre (x '', y '') y (x, y) está dada por las ecuaciones:

Aquí D = pecado (OX, OY). Esto invirtiendo la matriz de transformación conduce a la expresión de (x '', y '') en términos de (x ', y'):

Observaciones
[1] Hay dos líneas (amarillas) a través de O, que son simultáneamente conjugados armónicos con respecto a los pares de líneas {OX, OY} y {OX ', OY'}. Estos corresponden a los vectores propios de la matriz que representa F y se caracterizan por el hecho de que la línea PP 'pasa a través de O, es decir, son invariantes con respecto a F. 
[2] Los dos sistemas de coordenadas son equivalentes. Para un aspecto ligeramente diferente, en el que se prefiere uno de ellos, se dice {OX, OY}, consulte CoordinatesTransform.html .
[3] Esta transformación de coordenadas particular (x, y) a (x ', y') puede servir para manejar la transformación de coordenadas afines más general. De hecho, dados dos sistemas de coordenadas con orígenes O y O 'diferentes, la traducción de O'O se reduce a dos sistemas como los estudiados aquí, teniendo un origen común en O.

Elipse del teorema del coseno

Elipse con la ecuación 
x ^ 2 + y ^ 2 - 2cos (alfa) xy - d ^ 2 = 0 
en sus ejes principales representados: 
(x / a) ^ 2 + (y / b) ^ 2 = 1. 
Con a = d / sqrt (1-cos (alpha)) y 
b = d / sqrt (1 + cos (alpha)) 
c = d * sqrt (2 * cos (alpha)) / sin (alpha) 
equivalentemente 
(1 + cos (alpha) ) * x ^ 2 + (1-cos (alfa)) * y ^ 2 = d ^ 2. 
Para fijo (d) y variable (alfa), todas las elipses resultantes pasan por los cuatro puntos W, X, Y, Z, con coordenadas (d / sqrt (2)) * (± 1, ± 1).

La forma de la elipse se controla a) a través del segmento AB (igual a A * B *), definiendo la longitud (d) yb) a través del ángulo polar (alfa). Cambie a la herramienta de selección (CTRL + 1) para modificar AB. Cambie a la herramienta de selección de contorno (CTRL + 2) para modificar (alfa), moviendo G en el círculo. La elipse azul es una rotación de 45 grados de la elipse roja. Para D moviéndose en el arco elíptico FE, las coordenadas correspondientes (Dx, Dy) medidas en los lados de (alfa) definen los puntos A *, B * respectivamente, de modo que | A * B * | = | AB |. Cambie a la herramienta de selección de contorno (CTRL + 2) para modificar C y su D girado en 45 grados y vea la ubicación correspondiente de A * B *.

Triángulo de Cosymmedian

Triángulo DEF es el triángulo cosimmediano de ABC. Sus vértices D, E, F son las intersecciones de los simmedios de ABC con el circuncírculo c de ABC. K es el punto simétrico o de Lemoine del triángulo ABC. Los triángulos ABC y DEF comparten el mismo punto de Lemoine K, el mismo círculo de Brocard con diámetro OK, circunferencia c, eje de Lemoine A * B * C *, eje de Brocard (línea [OK]), puntos isodinámicos y círculos de Apolonia.

Todas estas son consecuencias del hecho de que el triángulo cosimediano es una órbita del Reciclador (Moebius) de ABC. Esto se estudia en Recycler.html .