GEOMETRÍA DINÁMICA

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 Área cociente

Considere un paralelogramo p = (KLMN) y un punto J dentro de él. Construya el cuadrilátero q = (OQPR), con vértices de los reflejos de J en los lados de p. Demuestre que: (a) El área de q es la misma para todas las posiciones de J dentro de p. (b) Las diagonales de q cortan en J y duplican la longitud de las distancias de los lados paralelos de p. (c) q es un trapecio, exactamente cuando J está en una diagonal de p. 

 Relación de áreas

Dado el triángulo DEF, construya el triángulo ABC de la siguiente manera: 
Tome los puntos G, H, I, en los lados del triángulo DEF, de manera que EG / EF = FH / FD = DI / DE = x (segmentos orientados). Luego, une G, H, I con D, E, F para formar el triángulo ABC. Demuestre que la relación de las áreas y = a (ABC) / a (DEF) está relacionada con x mediante la función y = (1-4 * x + 4 * x ^ 2) / (1-x + x ^ 2) 


El movimiento libre en la siguiente figura es: 
El triángulo DEF (cambiar a la herramienta de selección (Ctrl + 1) para capturar y modificar) 
Movable-On-Line es: 
El punto G (cambiar a la herramienta de selección de contorno (Ctrl + 2) atrapar y modificar)

Desafío: ¿Cómo podría uno generalizar el problema a un polígono convexo arbitrario?

Elipsógrafo de Artobolevsky

Este es un enlace básico que ilustra varios elementos que entran en los mecanismos de enlace. Primero, el mecanismo de cuatro barras en sí, llamado [enlace de manivela cruzada], que consiste en cuatro segmentos que forman un trapecio isósceles junto con sus diagonales. En su punto de intersección se agrega un elemento de guía doble que consta de dos deslizadores, conectados entre sí por un par de giro E. | BE | + | EA | = | BD | = | BC | es constante e igual al radio del círculo [Director] de la elipse. La tangente a la elipse en E es el eje de simetría de la manivela cruzada. Esto también proporciona el método para construir una manivela en movimiento: Dibuje primero el segmento de longitud fija AB y el radio BD en el punto de movimiento D. Luego, defina el eje de simetría que coincide con la línea media del segmento AD. Finalmente reflejar ABD en este eje.

La forma de la elipse se controla moviendo los puntos A y C. | BC | Define el radio del círculo director. | AB | es la distancia focal La construcción está tomada del libro de Artobolevsky [Mecanismos en el diseño de ingeniería moderna, Mir 1976 vol. II, p. 93].

 Artzt Parabolas (primer tipo)

Dado un triángulo ABC, la parábola de Artzt con respecto a A, que denoto por p _BC , es una parábola que pasa a través de los vértices {B, C} y está allí tangente a las líneas {BA, CA} respectivamente. 
De las propiedades generales de las parábolas (véase Parabola.html ) se deduce que esta parábola también pasa a través de la K central del segmento EF de las medias de los lados {AC, AB} respectivamente. 
De ello se deduce también que el eje de la parábola es paralelo a la mediana de la AD.

 2. Construcción en coordenadas baricéntricas.

La construcción de p _BC se puede hacer por medio de la familia bitangente de las cónicas f (t) = y * z - t * x ² . 
Esto describe todas las cónicas que pasan por {B, C} y que están allí tangentes a las líneas {BA, CA} respectivamente. Las letras representan las líneas: 
x = 0 (línea BC), 
y = 0 (línea CA), 
z = 0 (línea AB). 
La parábola es precisamente el miembro cónico de esta familia que pasa por el punto K. 
En el sistema de coordenadas baricéntrico estándar (x, y, z) representa las coordenadas y K tiene coordenadas (1, 1/2, 1/2). Esto implica que en este sistema la ecuación de la parábola es y * z - (1/4) x ² = 0.

 3. Descripción geométrica.

La parábola de Artzt p _BC se puede describir geométricamente también como un sobre de una línea muy fácilmente construible. 
De hecho, considere un punto D arbitrario en la base BC del triángulo y proyecte paralelo a los lados a los puntos C 'en AC y B' en AB. La envolvente de la diagonal B'C 'del paralelogramo DB'AC' es la parábola de Artzt p _BC . 
Una prueba de esto se puede encontrar en Artzt_Generation2.html . El archivo Artzt_Generation.html contiene una segunda prueba del mismo hecho utilizando coordenadas baricéntricas. 
Otra forma de generar esta parábola se puede encontrar en el archivo ArtztIsosceles.html .