GEOMETRÍA DINÁMICA

Instrumento cónico

Este es un dispositivo que permite el dibujo del cónico genérico dado en coordenadas cartesianas mediante una ecuación de la forma 
(1) f (x, y) = ax ² + 2hxy + por ² + 2gx + 2fy + c = 0 , 
el instrumento tiene 6 parámetros {a, h, b, g, f, c} que se pueden establecer de forma arbitraria y definir la cónica. 

Observación
Si las intercepciones con los ejes son reales, entonces: 
[1] Al cambiar los coeficientes {a, g} solamente, las intersecciones {A, B} con el eje y siguen siendo las mismas. El centro G de la cónica se 
     mueve en una línea (e) que pasa por la mitad de AB.
[2] Al cambiar los coeficientes {b, f} solamente, las intersecciones {C, D} con el eje x siguen siendo las mismas. El centro G de la cónica se 
     mueve en una línea (f) que pasa por la mitad del CD. 
[3] Al cambiar el coeficiente {h} solamente, las cuatro intercepciones con los ejes permanecen iguales. 
[4] Al cambiar el coeficiente {c} solamente, las cuatro intersecciones cambian proporcionalmente, el centro permanece constante y los ejes 
de la cónica mantienen direcciones constantes. Las cónicas para las variables c son homotéticas con respecto a su centro. En el caso 
de las parábolas, variando c obtenemos traductores de la parábola.

Las pruebas de los comentarios siguen de las fórmulas discutidas en Conic_Equation.html . Por ejemplo, [1] se deduce de 
las fórmulas que dan al centro en términos de los coeficientes (ibid, sección-8). De hecho, la configuración de x = 0 en la ecuación es la siguiente: 
                                                                    por ² + 2fy + c = 0, 
cuyas raíces determinan {A, B} en el eje y, con su centro definido por y = -f / b. Como estos no dependen de {a, g}, 
permanecen iguales si solo estos dos coeficientes cambian. Con respecto al movimiento de G en la línea (e), considere las 
ecuaciones mencionadas anteriormente del centro (x ₀ , y ₀ ) y demuestre que satisfacen la ecuación de línea:
                                                                   hx ₀ + por ₀ + f = 0. 
De manera análoga, el centro también está en la línea (f): 
                                                                   ax ₀ + hy ₀ + g = 0. 
(G es la intersección de estas dos líneas). El primero no cambia al modificar {a, g} y el segundo no cambia 
al modificar {b, f}. 

Observación: se obtiene una prueba "simple" (módulo de generación de Chasles-Steiner, consulte Chasles_Steiner.html ) de que el centro 
G describe una cónica, ya que h solo varía. De hecho, la dependencia de las dos líneas {e, f} es una correspondencia proyectiva entre los 
lápices E^* , F ^* y el principio mencionado anteriormente se aplican para demostrar que G describe una cónica, ya que h solo varía. 
Ver [SalmonConics, p. 153] para una prueba alternativa utilizando un análisis similar.

Cónicas y similitudes de círculos.

El archivo CirclesSimilar.html contiene una breve discusión sobre el lugar de los puntos que sirven como centros de similitud F de cierta similitud S mapeando un círculo (d) a otro círculo (d '). Aquí se muestra que, para semejante similitud, la línea EE 'que une un punto E en (d) con E' = S (E) en (d ') envuelve una cónica con un foco en F y tangente (bajo ciertas condiciones) a los dos círculos dados (d) y (d ').

[1] De las propiedades elementales de la hipérbola (ver Hyperbola.html ) se deduce que la línea tangente XT y la línea normal XN en un punto X de la hipérbola (la elipse también) se intersecan con el eje mayor (eje x arriba) en dos puntos {T, N} que son conjugados armónicos a los focos {F, F '} de la hipérbola. 
[2] Se deduce que el círculo (e) a través de {F, F ', X} pasa también a través de K, el punto de intersección del eje menor (eje y) con la línea normal XN. De hecho, la propiedad anterior implica que XN, XT son bisectrices del ángulo en X del triángulo FXF 'y el resultado se deriva de eso directamente.
[3] Como consecuencia, los triángulos KOF y XGF son similares. Más en general, el círculo auxiliar (c) y un círculo (d), tangente en dos puntos de la cónica, son similares en la similitud S definida por los siguientes datos. El centro de S es F. El ángulo de rotación es OFK y la relación k = OF / OK. 
De hecho, S, definida por estos datos, mapea (c) a otro círculo centrado en K y con radio KX, ya que los triángulos OGF y KXF son similares. Así, este círculo debe coincidir con (d). 
[4] Dado que D está en el círculo auxiliar y D '= S (D) es tal que DD' es ortogonal a FD si sigue, DD 'es tangente a la hipérbola (ibid).
[5] Seleccionando otro punto X '(x', y ') de la hipérbola, construimos otro círculo (d'), que, como (d), es similar al círculo auxiliar a través de una similitud S 'centrada en F, etc. La composición de similitudes S '* S ^-1 = S' 'es una similitud que tiene la propiedad de que para cada par de puntos correspondientes {E, E' = S '' (E)} línea EE 'es una tangente a la hipérbola .
[6] Esta propiedad también tiene una inversa: para cada par de círculos {d, d '} y una similitud S mapeando el uno al otro, lo que no es una homotety, entonces para E en d y E' = S (E ) en d ', la línea EE' envuelve una cónica con un foco F en el centro de similitud y tangente a ambos círculos. La prueba de esto se puede deducir fácilmente invirtiendo los argumentos de las construcciones anteriores. Primero defina otro círculo, correspondiente a (c) y defina una similitud S 'mapeando (c) a (d). Demuestre para esto la propiedad análoga y extienda entonces al caso más general.
[7] Por estas propiedades, la hipérbola aparece como una envoltura de un conjunto de círculos que son similares al círculo auxiliar bajo similitudes centradas en el foco de la cónica y las líneas que unen los puntos correspondientes bajo estas similitudes son tangentes a la cónica. Además, cualquiera de los dos círculos de este conjunto define una similitud única con esta propiedad. 
[8] Volviendo a los comentarios hechos en CirclesSimilar.html , observo que la forma de la cónica (aquí una hipérbola) y la tangencia a los dos círculos (d) y (d ') dependen de la posición relativa de los dos círculos. y la posición del correspondiente centro de similitud F, contenida en el círculo (f) con puntos diametral, los dos centros de homotecnia de los círculos.
[8.1] En el caso de dos círculos que no se intersecan (d), (d '), que se encuentran uno fuera del otro, para cualquier punto F en (f) diferente de los dos centros de homotecnia, obtenemos siempre una hipérbola. La hipérbola es siempre tangente a los círculos (d) y (d '). 
[8.2] En el caso de dos círculos que no se intersecan (d), (d '), uno dentro del otro, y para cualquier punto F en (f), diferente de los dos centros de homotecnia, obtenemos siempre una elipse. La elipse se encuentra siempre dentro del círculo pequeño y (f) se divide en cuatro arcos, de manera que para los puntos F que se encuentran en estos arcos, la elipse está totalmente dentro del círculo pequeño o es tangente a ella. File ConicsAndSimilarities2.html contiene una ilustración típica de tal caso.
[8.3] En el caso de dos círculos que se cruzan, obtenemos ambos casos de hiperbolas y elipses, dependiendo de la posición de F en el círculo (f). En este caso, el círculo (f) pasa a través de los puntos de intersección {M, N} de los círculos {d, d '}. Para los puntos F en (f) que se encuentran fuera de la intersección de dos discos circulares, las cónicas son hipérbolas. Para los puntos F dentro de la intersección de los dos discos circulares, las cónicas son elipses. File ConicsAndSimilarities3.html contiene una ilustración típica de tal caso.

Cónicas y similitudes de círculos II.

El archivo CirclesSimilar.html contiene una breve discusión sobre el lugar de los puntos que sirven como centros de similitud F de cierta similitud S mapeando un círculo (d) a otro círculo (d '). En el archivo ConicsAndSimilarities.html se muestra que, para semejante similitud, la línea EE 'que une un punto E en (d) con E' = S (E) en (d ') envuelve una cónica con un foco en F y tangente ( bajo ciertas condiciones) a los dos círculos dados (d) y (d '). 
El siguiente ejemplo es un caso en el que los dos círculos (d) y (d ') no son tangentes a la cónica (elipse azul) generada por la receta anterior.

Los puntos {V, W} son los centros de homotecnia de los dos círculos (d) y (d '). El círculo (f) tiene estos dos puntos como puntos diametral. F está siempre en este círculo. La cónica resultante para tal configuración, donde uno de los círculos (d ') está totalmente dentro del otro, es siempre una elipse. La elipse puede entrar en contacto o no con el círculo más pequeño (d '). 
Una pista del comportamiento de la elipse con respecto a su contacto con el círculo (d ') puede dar la imagen contenida en DistanceFunction.html .