GEOMETRÍA DINÁMICA

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Trayectorias de bolas de billar dentro de polígonos.

Ejemplo construido usando la herramienta de usuario [FindTrajectory]. 
El script para producir la herramienta está contenido en el archivo [BilliardTrajectories] en los scripts-archivos. 

La herramienta selecciona los objetos modificables libres 
a) Un polígono cerrado p 
b) Dos puntos A, B dentro del polígono 
c) Un objeto numérico N 

Después de eso crea una trayectoria de bola de billar con N vértices (puntos de reflexión) en el polígono p . Los cuatro objetos seleccionados son los maestros de la trayectoria, por lo tanto, se pueden modificar libremente. La trayectoria se organiza como un grupo de 2 + N puntos y N segmentos. El primer segmento (rojo) contiene los tres primeros elementos del grupo. El grupo se organiza según el patrón: 
pt-pt-pt-seg-pt-seg-pt-seg-pt ... etc. Cada segmento que une los dos puntos anteriores, le precede. 

Para modificar rápidamente el número de lados de la trayectoria, seleccione el objeto numérico y use la tecla de flecha superior del teclado. 
Solo puedes aumentar el número de lados. Por el momento no puedes reducir el número de lados. Utilice [Deshacer] si desea volver a menos lados.

Angulo de las tangentes cónicas

El siguiente comentario se debe a Steiner (Werke, Bd. II, p. 3). Considere las tangentes PA, PB a la elipse ABCD. Considera también el AB polar de P, pasando por los puntos tangentes. Defina el punto de intersección Q de la bisectriz del ángulo APB con AB. Luego, para cualquier punto C en la elipse, la línea CQ, corta la elipse en otro punto D, de manera que ang (CQP) = ang (QPB).

La prueba sigue al darse cuenta de que los puntos (C, D, Q, E) forman una división armónica. Luego, las líneas (PC, PD, PQ, PE), que pasan por estos puntos, forman un conjunto armónico de líneas. Pero PQ y PR son, por construcción, ortogonales en P. Por lo tanto, estas líneas bisectan el ángulo de las otras dos: ang (CPD).

Bisectores de triángulo

Las propiedades principales de las líneas bisectoras (internas) de los ángulos de un triángulo son: 
[1] Cada una es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de los lados del ángulo que biseca. 
[2] Las tres bisectrices se intersecan en un punto I, centro del incircle del triángulo. 
[3] La traza de una bisectriz en el lado opuesto la divide en una proporción igual a la relación de los lados del ángulo que biseca. 
[4] Lo mismo es cierto para la traza en el lado opuesto de la bisectriz externa: A * B / A * C = AB / AC y de manera similar para las 
      otras trazas B * y C * (de las bisectrices externas). Por lo tanto, en cada lado, las dos trazas (internas / externas) de las           
      bisectrices son conjugados armónicos (ver Harmonic.html ) con respecto a los vértices en este lado.
[5] El triángulo del pedal ( Pedal.html ) I _a I _b I _c de I (sus proyecciones en los lados) tiene ángulos (π-A) / 2, (π-B) / 2, (π-C) / 2. 
[6] Las bisectrices externas de los ángulos cortan los lados opuestos en tres puntos colineales A *, B *, C *. La línea que        
      contiene A *, B *, C * es la polar trilineal (ver TrilinearPolar.html ) de I.

[1] Un punto I en la bisectriz se define por sus proyecciones I _b , I _c en los lados dos triángulos en ángulo recto iguales AII _b y AII _c . Así, 
      II _b = II _c . 
[2] Suponga que I es el punto de intersección de las bisectrices en B y C. Luego II _c = II _a (bisector en B) y II _a = II _b (bisector en C). Por lo tanto, 
      II _c = II _b, es decir, I está en la bisectriz de A. 
[3-4] Sea B 'el punto de intersección del paralelo BB' a la bisectriz AD. Triángulo ABB 'es isósceles y por la paralelismo de BB'
         a AD: BD / DC = B'A / AC = AB / AC. La prueba para la bisectriz externa es análoga. La afirmación sobre la armonicidad es una 
         consecuencia. 
[5] AI _c II _b es un cuadrángulo cíclico por lo tanto, ángulo (I _c II _b ) = π-A, etc. 
[6] Dado que A * B / A * C = AB / AC, B * C / B * A = BC / BA, C * A / C * B = CA / CB, aplique el teorema de Menealaus ( Menelaus.html ), etc. La 
     armónica citada es una condición suficiente para A *, B *, C * para estar en el Trilineal polar de I (ver referencia abajo). El 
     triángulo formado por los puntos de intersección de dos bisectrices externa y una interna se examina en Bisector1.html .
     Con las bisectrices se relacionan el incirculo y los circulos del triangulo. Algunas propiedades de ellas se estudian en 
     el archivo Incircle.html .