GEOMETRÍA DINÁMICA

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En el triangulo circunmedial

Considere el triángulo A * B * C * (a veces llamado triángulo circunmedial de ABC ) formado por las intercepciones de las medianas de ABC con el circuncírculo (wr circunceviano al centroide, vea Circumcevian.html ). Considera también el triángulo anticomplementario A'B'C '. 
[1] A * A'B'B *, B * B'C'C *, C * C'A'A * son cuadriláteros cíclicos. 
[2] El triángulo A''B''C '' formado por los centros de los tres circuncírculos de los cuadriláteros anteriores tiene sus medianas que coinciden con las altitudes de ABC. 
[3] El punto simmediano de A''B''C '' coincide con el circuncentro de ABC.

[1] sigue del ángulo (A * A'C) = ángulo (BAC) = ángulo (BB * A *) y relaciones análogas. 
[2] A''A es ortogonal en el medio de B'C '. Se mantienen relaciones análogas para B''B y C''C. 
[3] ángulo (B''A''A) = ángulo (C * C'A) = ángulo (C * CB) = ángulo (C * B * B) = ángulo (OA''C ''), O siendo el circuncentro de abc. Esto prueba que A''O es el simmediano de A '' del triángulo A''B''C ''. Argumentos análogos son válidos para los otros simmedios. 

Observación 1 La construcción del triángulo A * B * C * de ABC se puede aplicar a A * B * C * en sí misma y produce A ** B ** C ** y también una secuencia completa de triángulos producidos a partir del anterior por el El método A * B * C * se produce a partir de ABC.Napoleon triangulo de abc. 
Observación 2 La observación anterior podría aplicarse a un triángulo básico ABC y un centro de triángulo fijo para producir un triángulo A * B * C * definido por las intersecciones de los cevianos a través del centro del triángulo y el circuncírculo. La respuesta a la pregunta de la convergencia de la secuencia resultante es desconocida para mí.

Dibujar paralelos a partir de vértices.

En esta sección examino un tipo de generación de una circumparabola conectada con haces de líneas paralelas. Comienzo con un ejercicio en algunas intersecciones de líneas: 
dado un triángulo ABC y dos direcciones independientes {OX, OY}, dibuje desde los vértices de las líneas triangulares paralelas a las dos direcciones. Estos paralelos crean tres paralelogramos que tienen los lados del triángulo dado como diagonales. Las otras tres diagonales de estos paralelogramos pasan a través de un punto P.

Las diagonales {A''C '', AC, A ₀ C ₀ } de los paralelogramos creados {A''B''C''B, CB''AB ₀ , B ₀ A ₀ BC ₀ } se intersecan en un punto (ver (2) de MenelausApp.html ). Esto implica que los triángulos {A''B''C '', A ₀ B ₀ C ₀ } tienen pares de lados que se intersecan a lo largo de la línea AC, es decir, son de perspectiva de línea. Según el teorema de Desargue, también son puntos de vista. P es el centro de esta perspectiva.

 2. Generación de Circumparabola.

En el ejercicio anterior, corrija la dirección OX y deje que OY describa todas las direcciones posibles del plano. Luego, el punto correspondiente P describe la parábola que pasa a través de los vértices del triángulo A'B'C 'y que tiene su eje paralelo a OX. Aquí {A ', B', C '} son los medios de los lados de ABC.

Se obtiene una prueba que muestra que P describe una cónica e identifica la cónica con la parábola reclamada. Esto se puede hacer fácilmente utilizando {A ', B', C ', D'} como base proyectiva (siendo D 'el centroide de A'B'C') y calculando el punto de intersección P de las líneas en este sistema de coordenadas. La ecuación resultante es una cuadrática. 
Entonces también es fácil ver que para las posiciones apropiadas de OY el punto P obtiene las posiciones {A ', B', C ', A' ', B' ', C' '}, donde los tres últimos puntos son las intersecciones de líneas paralelas a OX desde {A, B, C} con los lados de ABC. 
Usando los resultados de AnticomplementaryAndCircumparabola.html , los cálculos anteriores muestran que la cónica coincide con la parábola reclamada. 

Cuadrilátero circunscriptible

Un cuadrilátero ABCD es circunscriptible en un círculo, si y solo si AB + CD = BC + AD.

Si es circunscriptible, considere los puntos de contacto E, H, G, F y mida las longitudes ED = DH, etc. para mostrar que AB + CD = BC + DA. Para lo contrario, supongamos que AB + CD = BC + DA y AB Luego BC Entonces DX = DY. Sea K el circuncentro del triángulo BXY. AK bisecta el ángulo A ya que los triángulos AKX y AKB tienen lados iguales. De manera similar, CK y DK son bisectrices de los ángulos C y D respectivamente. De ello se deduce que K es equidistante de los lados del cuadrilátero. El cuadrilátero tiene un incírculo con el centro K. (Prueba tomada de las notas de Paul Yiu: EuclideanGeometryNotes.pdf). 
Mire en Circumscriptible_Construction.html para la construcción de todos los circunscriptibles con AB + CD = BC + DA = t.