GEOMETRÍA DINÁMICA

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 Angulos en los lados

Considere el triángulo t = ABC y un ángulo arbitrario v = JKL. Construya ángulos iguales a v en los lados de ABC: ang (CBE) = ang (ACD) = v, de modo que los triángulos CBE y ACD sean isoscelli. Luego, el lugar geométrico del punto F, dividiendo DE en una proporción fija k, es un círculo.

Dibuje de F a paralelo a CD, definiendo el punto I en CE, de modo que DF / FE = CI / IE = k. Defina también los puntos G y H en AC y BC respectivamente, de modo que AG / GC = CH / HB = k. Dado k, G y H son puntos bien definidos en los lados de t y el triángulo s = IFH es igual a CGH. 

Tenga en cuenta que al extender los otros lados de los isoscelli: BE, CD, etc., el triángulo t * = A * B * C * definido a través de sus intersecciones es similar a t y comparte con él el mismo primer punto Brocard M, siendo M la intersección punto de los tres círculos {ABB *}, {BCC *} y {CAA *}. Estos círculos son tangentes respectivamente a BC, CA y AB. Consulte el archivo Brocard.html sobre los puntos Brocard.

Para producir múltiplos de ángulos:

1) Crea un ángulo <(EFG). 
2) Cree un objeto numérico: escriba un número f (por ejemplo, 2.0) y presione la tecla enter. 
3) Obtenga la herramienta de multiplicación (*) de la barra de herramientas en el lado derecho. 
4) Haga clic en el objeto numérico y el ángulo <(EFG). 
5) Esto crea un ángulo <(EFH), cuya medida es f veces la medida de <(EFG). 
Sin embargo, existe un problema debido a la forma en que se miden los ángulos. 
La herramienta [Measures \ Angle Label], utilizada para medir ángulos, tiene una restricción. 
Produce medidas en el intervalo (-pi, pi). Y esto no da resultados correctos para múltiplos de ángulos. Pruébalo en el siguiente ejemplo. Allí, el objeto numérico "Cuota" da el cociente de los dos ángulos: <(EFH) / <(EFG) = f. Esto es correcto solo cuando ambos ángulos son menos de 180: 00. 
El ángulo <(EFH) es de hecho el múltiplo correcto de <(EFG), pero las etiquetas de ángulo pueden estar equivocadas. 
Para curarlo, se necesita una variación de la herramienta que trabaje con ángulos mayores que pi. 
Vea a continuación cómo se puede aplicar esta herramienta.

 Visualización correcta de los múltiplos de un ángulo.

Haz exactamente las mismas acciones que antes. Pero al hacer clic en los ángulos con la herramienta [Etiqueta de ángulo], para obtener su medida, presione simultáneamente la tecla ctrl. Esto hace que la herramienta de medición funcione con la medición angular continua, que puede tomar cualquier número real (o grado) como su valor. Captura y gira "C" sobre "B" a continuación, para ver a qué me refiero. 
Los ángulos pueden llegar a ser arbitrariamente grandes, pero su proporción permanece fija.

Anticomplementario y circunparabola. Deje que los vértices de nuestro triángulo básico, los puntos {a, b, c}, estén en la parábola 4ky-x 2 = 0 (k es la distancia foco-vértice). Considere también los puntos {a '= b + ca, b' = c + ab, c '= a + bc} que son los vértices del triángulo anticomplementario .  Los paralelos de {a ', b', c '} al eje de la parábola se encuentran con los lados opuestos del triángulo anticomplementario en los puntos de la parábola. De hecho, la línea paralela L 1 de a '= b + ca, es la línea que tiene una coordenada x constante e igual a (b 1 + c 1 -a 1 ). La línea L 2 a {b ', c'} en forma paramétrica es b '+ t (c'-b) y cumple con L 1 en un punto tal que b' 1 + t (c ' 1 -b 1 ) = b 1 + c 1 -a 1 . De lo que sigue inmediatamente que  t = (b 1 -a 1 ) / (b 1 -c 1 ).  Por lo tanto, la coordenada y del punto de intersección es b ' 2 + t (c' 2 -b '2 ) = a 2 + (2t-1) (b 2 -c 2 ), que al reemplazar y 2 = x 1 2 / (4k) se reduce a (1 / (4k)) (b 1 + c 1 -a 1 ) 2 , demostrando así la reclamación.  Observación-1 Se deduce que para cada tripple de puntos no colineales {A, B, C} y cada dirección L, hay un paso cónico a través de los seis puntos {A, B, C, A '', B '', C ''}, donde los tres últimos puntos son las intersecciones de los paralelos a L desde los vértices y los lados opuestos a estos vértices del triángulo anticomplementario. Además, para todas las direcciones que no coinciden con los lados de ABC, la cónica es una parábola, mientras que para las direcciones que coinciden con un lado del triángulo, la cónica correspondiente degenera en un conjunto de dos líneas paralelas.  Nota-2 Las parábolas no degeneradas tocan la línea en el infinito en su "punto" correspondiente a la dirección del eje. Esto se utiliza en la referencia dada a continuación.  Las observaciones tienen una buena consecuencia para las parábolas que circunscriben un triángulo. Consulte el archivo CircumconicsTangentToLine.html . Otro enfoque del mismo tema se encuentra en AllParabolasCircumscribed.html . Las hiperbolas antiparalelas de un triángulo. Los antiparalelos B'C 'a la base BC del triángulo ABC se crean intersecando los lados AB, AC con círculos (c') que pasan a través de los vértices B y C. Por su definición, el cuadrángulo BCC'B 'es cíclico, la dirección (e ) de los segmentos B'C 'es constante e igual a la dirección de la tangente al circuncírculo (c) de ABC en A. Por lo tanto, todos estos segmentos son ortogonales a la línea AO, siendo O el circuncentro de ABC. La discusión aquí es sobre las propiedades del punto de intersección P de las diagonales del cuadrángulo cíclico BCC'B '.  [1] El locus de P es una hipérbola rectangular que pasa a través de los vértices de ABC.  [2] La hipérbola tiene su centro en la M media de BC y sus ejes paralelos a las bisectrices del ángulo A. [4] Sea A 1 el punto de intersección de BC con la tangente al circuncírculo ABC (e) en A. Tome la simétrica A 2 de A con respecto a A 1 . La hipérbola pasa a través de los vértices de triángulo ACA 2 y es invariante bajo la conjugación isotónico con respecto a la mediana de CA 1 de este triángulo.  [5] La tangente a la hipérbola en A coincide con la línea simmediana del triángulo ABC a través del vértice A. [1, 2] Desde el centro M de BC, dibuje el B''C '' paralelo a la bisectriz exterior del ángulo A. Desde la ciclicidad del cuadrángulo BCC'B 'sigue que los dos triángulos pequeños (amarillos) BB 1 B' 'y CC''C 3son iguales y A'B''C' ', PB''C' 'son isosceli. La primera isósceles es una traducción de las isósceles fijas AB 1 C 3 por B 1 B ''.  El proyecto P en los paralelos a las bisectrices del ángulo A que pasa desde M. Las proyecciones crean un rectángulo PM'MM '' tiene la misma área que C 1 C 2 C''C 3 . La longitud base del último paralelogramo es C''C 3.= d * cot (phi) y su altura PM '= f * tan (phi). Por lo tanto, su área es igual a (d * f). Esto prueba que P se encuentra en una hipérbola rectangular, centrada en M y que tiene como asíntotas los paralelos a las bisectrices del ángulo A. Al variar la posición de B'C ', vemos fácilmente que la hipérbola pasa a través de los vértices del triángulo ABC.  [3, 4] Considere el punto P '= f (P). La mitad de PP 'está en la línea BC y P' es un punto de la hipérbola. Para verlo, dibuja P'C y P'B y sus intersecciones B '', C '' con los lados del triángulo. Basta con demostrar que B''C '' es paralelo a B'C ', o equivalente, paralelo a PP'. Esto es una consecuencia de un ejercicio fácil en el teorema de Thales (ver ThalesApplication.html ). , P 2 }, luego son las intersecciones de PP 'con los lados del triángulo. Por lo tanto, AP es el conjugado armónico de la línea AP 'con respecto al par de lados (AB, AC) del triángulo. Cuando P se acerca a A, la línea AP tiende a la tangente en A y PP 'a e = AA 2 . La propiedad se deduce del hecho bien conocido en el simmedio y la tangente (e) al circuncírculo en A.  Observación-1 Debido a la conjugación de las direcciones de BC y (e), las tangentes en los puntos B, C (que son simétricas con respecto al centro de la hipérbola) son paralelas a la línea (e).  Observación-2Como lo hace cada hipérbola rectangular que pasa a través de los vértices, la hipérbola también pasa a través del ortocentro H. La simetría de H con respecto a la mitad del lado se encuentra con AO en el punto A 3 en el circuncírculo. Así, A 3 es la antípoda de A y la hipérbola se puede construir fácilmente pasando una cónica a través de los cinco puntos {A, B, C, H, A 2 }.  Observación-3 La generación de una cónica mediante la traducción de una línea, como B'C 'paralela a sí misma y teniendo en cuenta el punto P de intersección de las líneas BC' y CB' es un caso especial de la Maclaurin generación de las cónicas (ver Maclaurin.html) a través de líneas que giran alrededor de un punto X. Aquí X es un punto en la línea en el infinito. De hecho, la dirección antiparalela de BC determina el punto único en el infinito X 0 , para el cual la cónica correspondiente es una hipérbola rectangular. Cada lado del triángulo define una hipérbola rectangular análoga.