GEOMETRÍA DINÁMICA

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Antiparalleles

Los antiparalelos a la base AB de un triángulo ABC se llaman líneas JH, definidas mediante la intersección de los lados CA, CB del triángulo con círculos que pasan por AB. Los antiparalelos a AB son paralelos entre sí y también paralelos a la tangente a la circunferencia circula a través de C. 
Un antiparalelo particular al lado AB es la línea [PQ], que une los pies de las altitudes BP, AQ del triángulo. 
Por lo tanto, los antiparalelos son paralelos a los lados del triángulo órtico .

Los medios (M) de los segmentos JH se mueven en una línea CK, que es el [simmedio] del triángulo wr a C. La tangente en C y este simmedio se unen con los lados de C a [haz armónico] de líneas, dividiendo cada línea que intersecta estas cuatro líneas en [proporción armónica]. 
Moviendo M a la intersección L del simmedio con la tangente en A, vemos que la otra tangente, en B, pasa también desde L. De hecho, los puntos M, F el centro del círculo {ABD} y L coinciden en esto caso. Por lo tanto, el punto de Symmedian de ABC (que es el punto de intersección de los tres symmedians) (mire Symmedian.html)) es el punto de Gergonne de su triángulo tangencial. Moviendo M a la posición, de modo que AB = JH (haga que F y G coincidan), vemos que el simmedio es la simétrica de la mediana de C, con respecto a la bisectriz de C. 
Mire el archivo Symmedian_0.html para obtener una Discusión más detallada de la línea simmediana de un vértice y sus propiedades. El archivo AntiparallelHyperbola.html contiene una discusión sobre el lugar de los puntos de intersección de las líneas AH, BJ, que es una hipérbola rectangular que pasa por los vértices del triángulo.

 Círculos apollonios

Dado un segmento AB y un número real positivo k, el círculo apolíneo del segmento orientado AB, para la relación k, se define como el locus geométrico de los puntos P, de manera que | PA | / | PB | = k.

[1] Si PC y PD son los bissectores del ángulo APB, es un teorema elemental bien conocido que | CA | / | CB | = | DA | / | DB | = k, por lo tanto, C, D, que son puntos bien definidos en la línea AB, pertenecen al locus. Pero el ángulo CPD es el correcto. Por lo tanto, cada punto P del locus ve el segmento CD en un ángulo recto. Así, pertenece al círculo con diámetro CD. 
[2] Bueno, los ángulos OPA y PBO son iguales. Para ver esto, agregue a OPA el ángulo APC y obtenga OPC. Agregue a PBO el ángulo CPB = APC (porque bisector de PC) para obtener OCP = OPC (isósceles). 
[3] Estos ángulos son iguales que los triángulos OPA y OPB son similares. Esto implica que | OP || OP | = | OA || OB |. Esto significa: (i) que OP es tangente al circuncírculo c de ABP, (ii) que el círculo de Apolonia a es ortogonal al circuncírculo c ABP.
[4] Bueno, nos movemos lentamente hacia aguas más profundas: los círculos circundantes de todos los triángulos APB (P oneing en el Apollonian) construyen una X de "círculo-haz" de círculos que pasan por A, B. El círculo de Apollonian pertenece al paquete ortogonal Y de X, cuyos miembros se caracterizan por ser ortogonales a todos los miembros de X. Por lo tanto, el círculo apolíneo se caracteriza por ser ortogonal a ambos, el círculo circundante de PAB y el segmento AB y pasa por el punto P. 
[5] Consideremos ahora los círculos apolíneos de los lados (orientados) de un triángulo ABC . Con esto nos referimos a los siguientes tres círculos: 
c ₁ : el lugar geométrico de los puntos P, tal que | PB | / | PC | = | AB | / | AC |, (pasa por A), 
c ₂: el lugar geométrico de los puntos P, tal que | PC | / | PA | = | BC | / | BA |, (pasa por B), 
c ₃ : el lugar de los puntos P, de manera que | PA | / | PB | = | CA | / | CB |, (pasa a través de C). 
Denota aún más el circuncírculo de ABC con d.

[6] Los tres círculos pasan por dos puntos comunes K y L. De hecho, supongamos que K es un punto común de c ₁ y c ₃ . Entonces | KB | / | KC | = | AB | / | AC | y | KA | / | KB | = | CA | / | CB |. Multiplicando lado a lado: | KA | / | KC | = | AB | / | CB |. Así, K pertenece a c ₂ . 
[7] Se deduce que los centros U, V, W de los tres círculos están en una línea. Esto se llama la línea de Lemoine del triángulo. 
[8] Los centros U, V, W de c ₁ , c ₂ , c ₃ están respectivamente en las líneas BC, CA, AB. Además, las líneas UA, VB, WC son tangentes a d, en A, B, C respectivamente y c ₁ , c ₂ , c ₃todos son ortogonales a d (ver [3] arriba). 
[9] d siendo ortogonal al haz de tipo de intersección que contiene los tres círculos c ₁ , c ₂ , c ₃ implica que K, L y O (centro de d) son colineales. La línea que contiene K, L y O se llama eje de Brocard del triángulo. 
[10] De ello se deduce que, K y L son inversos con respecto al circuncírculo d. 
[11] Considere ahora la inversión F ₁ con respecto a c ₁ : 
(i) F ₁ permuta a los miembros del paquete de c1, c2, c3, que son todos ortogonales a d. 
(ii) F ₁ (B) = C (se muestra al principio). Por lo tanto, F ₁ (c₃ ) = c ₂ . 
(iii) Se deduce que las inversiones F ₁ , F ₂ , F ₃ wr a los tres círculos aplicados a estos círculos los permutan. Debido a que la inversión conserva los ángulos, todos los ángulos entre los círculos c ₁ , c ₂ y c ₃en K (y L) son iguales entre sí e iguales a 60 grados. 
[12] Además, cada centro de c1, c2, c3 es el centro de similitud para los otros dos círculos. 
[13] La propiedad de tangencia de UA (ver [8]) implica que es el conjugado armónico del simmedio a través de A wr a los lados AB, AC. Esto a su vez implica que el eje de Lemoine es el polar trilinealdelPunto simmediano (no dibujado) del triángulo. Vea las referencias a continuación para más discusiones sobre eso. 
Muchos hechos. Y esto es sólo el principio. Los puntos K, L se llaman puntos isodinámicos del triángulo ABC. 
EucliDraw tiene una herramienta especial para construir los círculos apollonianos de ABC: 
1) Seleccione la herramienta desde el elemento de menú [Shape-Tools \ Circle Tools \ Apollonian Circle ]. 2) Haga clic tres veces en 1st: on AB, 2nd: on AC, 3rd: on BC. Esto define el círculo c ₁ . 3) Haga clic tres veces 1º: en BC, 2º: en BA, 3º: en CA. Esto define el círculo c ₂ . 4) Haga clic tres veces 1st: en CA, 2nd: en CB, 3rd: en AB. Esto define el círculo c ₃ . 



Cambie a la herramienta de selección (CTRL + 1). Atrapa y modifica el triángulo. Mira cómo cambia la forma. 

 Apollonian Bundle

Considere un segmento a = EG y los círculos apolíneos que lo dividen en varias proporciones (consulte el archivo Apollonian_Circles.html ). Todos estos círculos son miembros de un grupo de círculos hiperbólicos que yo llamo el paquete apolíneo del segmento. 
El eje radical común de los círculos-miembros del haz es la línea medial del segmento. 
Al igual que con cada paquete, el paquete apolíneo se genera a partir de dos miembros particulares, uno de los cuales puede ser la línea medial (e) del segmento. 
Considere un miembro de círculo (f) del paquete que se divide en la relación k (azul). Luego, el miembro del paquete, que pasa por el centro K de (f) (el círculo de oro c) se divide en la relación k². En la siguiente figura, la relación k se define por la longitud de dos segmentos k = | AB | / | CD |.

 2. Propiedades

1) Cada paquete de círculo hiperbólico es el paquete apolíneo del segmento definido por sus puntos limitantes     (correspondientes a E, G arriba). 
2) Los círculos del paquete se pueden parametrizar por su relación k = | FE | / | FG |. 
3) Los miembros que quedan de la línea (e) son aquellos para los que k <1 .="" font="" nbsp="">
4) Los miembros de (e) son aquellos para los que k> 1. 
5) Dos miembros con relaciones inversas k * k '= 1 son wr simétrico a (e). 
6) Un semicírculo con diámetro EG da otra parametrización del paquete, en el siguiente sentido. 
    6.1) Cada miembro del paquete lo corta exactamente en un punto P y k = | PE | / | PG | = tan (phi). 
    6.2) Esto da otra manera de construir el círculo correspondiente a la razón k:
    6.2) Encuentre (phi) tal que phi = arctan (k) y ubique el punto P en el semicírculo en EG. 
    6.3) Dibuje PK ortogonal a OP en P. Esto determina el centro K y el radio | KP | del k-ratio-circulo. 
7) Observe que el semicírculo mencionado anteriormente es parte del miembro de círculo mínimo del paquete que es ortogonal al de Apolonia. De ahí la tangencia de OP en el círculo (f). 
8) Los puntos {W, W *} son conjugados armónicos con respecto a {E, G}. Su relación cruzada (E, G, W, W *) = (WE / WG) :( W * E / W * G) = - 1. Inversamente, cada par de puntos conjugados armónicos con respecto a {E, G} define un círculo del paquete de Apollonian y una relación cruzada (E, G, W, W *) = - 1.

 3. Formulario

Dado un segmento OA de longitud (coordenada) a, y una relación (k <0 ejemplo="" font="" nbsp="" por="">
1) la coordenada de X tal que XO / XA = k está en x = ka / (k-1), 
2) la coordenada de X 'tal que XO / XA = -k está en x' = ka / (k + 1), 
3) el centro del círculo de Apollonian está en (x + x ') / 2 = ak ² / (k ² - 1), 
4) la distancia (o diámetro del círculo apolíneo) es XX '= -2ka / (k ² -1).