GEOMETRÍA DINÁMICA

REEDIRIGIDA POR LA WEB : http://users.math.uoc.gr

Sobre el círculo apolíneo

Dado el triángulo ABC, su círculo apolíneo (EC) (locus de puntos C *, tal que C * A / C * B = CA / CB), su circuncírculo (DA) y un círculo (HA) que pasan por D, A, B. Demuestre que los puntos C, G, I (I diametral de D wr a H) están en una línea.

El círculo apolíneo (EC) corta ortogonalmente el circuncírculo (DA). Los puntos A, B son inversos wr al círculo (EC). Por lo tanto, cada círculo que pase por estos puntos cortará el círculo (EC) también ortogonalmente. Especialmente el círculo (IA) cortará ortogonalmente tanto (EC) como (DA). Por lo tanto, tendré poderes iguales a estos círculos (igual al cuadrado de IB). Por lo tanto, estaré en el eje radical (CG) de los dos círculos (EC) y (DA). Para una buena aplicación de este resultado, mire el archivo: TriangleSimilaritiesProd.html .

Propiedad de pedal apollonian

El triángulo del pedal de un punto E, con respecto al triángulo t = (ABC), es el triángulo formado por las proyecciones de E ₁ , E ₂ , E ₃ en los lados de t (o sus prolongaciones, ver Pedal.html ). Considere el círculo apolíneo c (D, | DA |), definido como el lugar geométrico de los puntos P, tal que | PA | / | PB | = | AB | / | AC |. 
[1] Sea F la inversa de E con respecto a (c) y E ₁ E ₂ E ₃ , F ₁ F ₂ F ₃ los pedales correspondientes. Luego la relación de longitud de lados homólogos (fe | E ₂ E ₃ | / | F ₂ F ₃|) es igual a la relación | AE | / | AF | = | A ₁ E | / | A ₁ F | para todos esos pares de lados. 
[2] Los triángulos E ₁ E ₂ E ₃ y F ₁ F ₂ F ₃ son similares e inversamente orientados.

[1] Eso | E ₂ E ₃ | / | F ₂ F ₃ | = | AE | / | AF | se ve fácilmente desde los cuadriláteros cíclicos {AE ₂ EE ₃ } y {AF ₃ FF ₂ }. E ₂ E ₃ y, respectivamente, F ₂ F ₃ son cuerdas de los circuncírculos de estos cuadriláteros observados desde A bajo el mismo ángulo, por lo que sus longitudes están en proporción con los diámetros de estos círculos, que son precisamente | AE | y | AF | correspondientemente 
El cociente de los otros lados necesita un poco más de trabajo. Por ejemplo | E ₁ E ₂ | / | F ₁ F ₂| = (| BE | * sin (B)) / (| CF | * sin (C)) = (*), y se necesita la relación de las longitudes de los segmentos cuyos puntos finales son inversos con respecto a (c) (vea InverseLengths .html ), como es el caso de CF y BE. 
De hecho, según el teorema de seno de los triángulos, (*) = (| BE | * b) / (| CF | * c). Por la referencia mencionada anteriormente: | BE | / | CF | = (r ² / (| DF | * | DC |)), b / c = r / | DB | => (*) = r ³ / (| DF | * | DC | * | DB |) = r / | DF | = | AE | / | AF |. 
[2] es una consecuencia inmediata de [1].

Círculos de Apollonius.

Denote por a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | Las longitudes de los lados del triángulo ABC. El círculo de Apolonio a 'en el lado aC es el lugar de los puntos 
G, de manera que | GB | / | GC | = c / b. Análoga es la definición de los círculos de Apolonio en los lados CA y AB. El tema se estudia en 
cierta medida en el archivo Apollonian_Circles.html . Aquí se da otra caracterización del círculo de Apollonius en el lado BC. 

El círculo de Apolonio a '(que pasa por el vértice A) es el lugar de los puntos G, de manera que sus triángulos pedales (ver Pedal.html ) son 
isoscelli en su vértice que se encuentra en BC ([Johnson, p.295]).

La siguiente igualdad, basada en la fórmula sinusoidal muestra por qué. 
                                       | ED | / | EF | = (| GB | * sin (B)) / (| GC | * sin (C)) 
                                                       = (c * sin (B)) / (b * sin (C))          
                                                       = 1.

 2. Pedales equiláteros.

Como consecuencia, los puntos isodinámicos {J, J '} (puntos de intersección de los tres círculos apolonios, ver referencia anterior) se caracterizan 
por tener pedales (y circunvecianos, ver Circumcevian.html ) que son triángulos equiláteros.

 3. Trilineales de puntos isodinámicos.

En realidad, este debe aparecer en la sección de puntos isodinámicos o / y trilinears (véase Isodynamic.html y Trilinears.html ). Sin embargo, la 
apariencia del equilátero aquí es la que ofrece los medios para calcular fácilmente este tipo de coordenadas para J. El resultado es que los trilineales de 
los puntos isodinámicos J, J 'son                                        
                                                     (x ₁ : x ₂ : x ₃ ) = ( sin (A + π / 3), sin (B + π / 3), sin (C + π / 3)) para J y                                   
                                                     (x ' ₁ : x' ₂ : x ' ₃) = (sin (A-π / 3), sin (B-π / 3), sin (C-π / 3)) para J '.

El objetivo aquí es calcular las relaciones (x ₁ : x ₂ : x ₃ ) de las distancias de J desde los lados de ABC. 
(1) El ángulo BJC es A + (π / 3). De hecho, el 
                                                  ángulo (BJC) = 2π - BJA) - AJC   
                                                                    = 2π - (π - BAJ - ABJ) - (π - CAJ - JCA) 
                                                                    = A + (DEJ + FEJ) = A + π / 3. 
     Última igualdad resultante de los cuadriláteros cíclicos DBEJ y FJEC. 
(2) Calcula el doble del área de los triángulos JBC, JCA y divide: 
                                     2area (JBC) = x ₁ * BC = t ₂ * t₃ * sin (A + π / 3), 
                                     2area (JCA) = x ₂ * CA = t ₃ * t ₁ * sin (B + π / 3) => 
                       (x ₁ * BC) / (x ₂ * CA) = (t ₂ * sin (A + π / 3)) / (t ₁ * sin (B + π / 3)) => 
                                       x ₁ / x ₂   = sin (A + π / 3) / sin (B + π / 3), 
donde la última simplificación se debe a la propiedad del punto isodinámico t ₂ / t ₃ = AB / AC, etc. 
Las fórmulas para J 'resultan por un razonamiento análogo. 

ObservaciónUn razonamiento análogo muestra que los puntos isodinámicos son conjugados isogonales (ver 
Isogonoal_Conjugation.html ) de los puntos Fermat del triángulo (ver Fermat.html ).