Apuntes de Cinemática

el movimiento curvilíneo

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura.

• Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

• Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

• Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

• Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.

• Se determina el ángulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: a_t=a cosθ  y  a_n=a sinθ

Ejemplo:

El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t²-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración

v_x =3t-2 m/s,   a_x=3 m/s²v_y=6t²-5 m/s,  a_y=12t m/s²

2. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son

v_x =4 m/s,   a_x=3 m/s²v_y=19 m/s,  a_y=24 m/s²

3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración

4. Calculamos el módulo de la aceleración a y el ángulo θ  que forman el vector velocidad y el vector aceleración.
θ=arctanayax−arctanvyvx=4.76ºa=a2x+a2y−−−−−−√=24.2${\displaystyle \begin{array}{l}\theta =\arctan \frac{a_y}{a_x}-\arctan \frac{v_y}{v_x}=4.76º\\ a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=24.2\end{array}}$

5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración

a_t=a·cosθ =24.1 m/s²
a_n=a·sinθ=2.0 m/s²

Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v.

v⋅a=vacosθ=vatat=v⋅av=vxax+vyayv2x+v2y√${\displaystyle \begin{array}{l}v·a=va\cos \theta =v{a}_t\\ a_t=\frac{v\cdot a}{v}=\frac{v_x{a}_x+v_y{a}_y}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}\end{array}}$

La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial a_t

a2n=a2−a2t=a2x+a2y−(vxax+vyay)2v2x+v2yan=axvy−ayvxv2x+v2y√${\displaystyle \begin{array}{l}{a}_n^2=a^2-a_t^2=a_x^2+a_y^2-\frac{{(v_x{a}_x+v_y{a}_y)}^2}{v_x^2+v_y^2}\\ a_n=\frac{a_x{v}_y-a_y{v}_x}{\sqrt{v_x^2+v_y^2}}\end{array}}$

Radio de curvatura

En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el instante t. Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t, la dirección del vector velocidad v+dv en el instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de curvatura ρ.

En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la dirección del vector velocidad cambia un ángulo dθ. que es el ángulo entre las tangentes o entre las normales. El móvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ·dθ,  tal como se aprecia en la figura.

Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentido u_t=v/v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos términos

a=dvdt=d(v⋅ut)dt=dvdtut+vdutdt${\displaystyle a=\frac{dv}{dt}=\frac{d(v·u_t)}{dt}=\frac{dv}{dt}{u}_t+v\frac{d{u}_t}{dt}}$

El primer término, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario u_t, es la componente tangencial de la aceleración

El segundo término, vamos a demostrar que tiene la dirección normalu_n. Como vemos en la figura las componentes del vector unitario u_tson

u_t=cosθ·i+sinθ·j

Su derivada es

dutdt=(−sinθi+cosθj)dθdt=dθdtun=1ρdsdtun=vρun${\displaystyle \frac{d{u}_t}{dt}=(-\sin \theta i+\cos \theta j)\frac{d\theta }{dt}=\frac{d\theta }{dt}{u}_n=\frac{1}{\rho }\frac{ds}{dt}{u}_n=\frac{v}{\rho }{u}_n}$

El vector aceleración es

a=dvdt=dvdtut+v2ρun${\displaystyle a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dt}{u}_t+\frac{v^2}{\rho }{u}_n}$

Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente

at=dvdt  an=v2ρ${\displaystyle a_t=\frac{dv}{dt}{a}_n=\frac{v^2}{\rho }}$

Esta última fórmula, la obtendremos de una forma más simple para una partícula que describe un movimiento circular uniforme.

Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez.

• Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial.
• Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal.
• Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal..

Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad

En este programa, se estudia un caso particular de movimiento curvilíneo, el tiro parabólico, que es la composición de dos movimientos:

• Uniforme a lo largo del eje X.
• Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical Y.

 Para resolver un problema de tiro parabólico es necesario seguir los siguientes pasos:

1. Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y los ejes horizontal X, y vertical Y
2. Determinar el valor y el signo de la aceleración vertical
3. Las componentes de la velocidad inicial (incluido el signo)
4. La posición inicial
5. Escribir las ecuaciones del movimiento
6. A partir de los datos, hallar las incógnitas

Descripción

En la figura tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v₀, haciendo un ángulo θ  con la horizontal, las componentes de la velocidad inicial son

v0x=v0cosθv0y=v0sinθ${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_{0x}=v_0\cos \theta \\ v_{0y}=v_0\sin \theta \end{array}}$

Como el tiro parabólico es la composición de dos movimientos:

• movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X
• uniformemente acelerado a lo largo del eje Y

Las ecuaciones del movimiento de un proyectil bajo la aceleración constante de la gravedad son:

{ax=0ay=−g  {vx=v0⋅cosθvy=v0⋅sinθ−g⋅t  {x=v0⋅cosθ⋅ty=y0+v⋅0sinθ⋅t−12g⋅t2${\displaystyle \{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_y=-g\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_x=v_0\cdot \cos \theta \\ v_y=v_0\cdot \text{sin}\theta -g\cdot t\end{array}\{\begin{array}{l}x=v_0\cdot \cos \theta \cdot t\\ y=y_0+v{}_0\cdot \text{sin}\theta \cdot t-\frac{1}{2}g\cdot t^2\end{array}}$

Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria, que tiene la forma y=ax² +bx +c, lo que representa una parábola.

Obtenemos la altura máxima, cuando la componente vertical de la velocidad v_y es cero; el alcance horizontal xcuando el cuerpo retorna al suelo y=0.

Movimiento Semiparabólico

El movimiento de parábola o semiparabólico (lanzamiento horizontal) se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y lacaída libre de un cuerpo en reposo.

 Movimiento parabólico (completo)

El movimiento parabólico completo se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad.
En condiciones ideales de resistencia al avance nulo y campo gravitatorio uniforme, lo anterior implica que:

1. Un cuerpo que se deja caer libremente y otro que es lanzado horizontalmente desde la misma altura tardan lo mismo en llegar al suelo.
2. La independencia de la masa en la caída libre y el lanzamiento vertical es igual de válida en los movimientos parabólicos.
3. Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba y otro parabólicamente completo que alcance la misma altura tarda lo mismo en caer.

 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO

Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:
donde:

1. 
2. 

 es el módulo de la velocidad inicial.

 es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.

 es la aceleración de la gravedad.

La velocidad inicial se compone de dos partes:

 que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.

En lo sucesivo 

  que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.

En lo sucesivo 

Se puede expresar la velocidad inicial de este modo:

Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicio de  Ecuación de la aceleración
La única aceleración que interviene en este movimiento es la de la gravedad, que corresponde a la ecuación:

que es vertical y hacia abajo.

 Ecuación de la velocidad

La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectória parabólica se puede obtener integrando la siguiente ecuación:
La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

Derivación de la ecuación de la velocidad Desplegar

Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la componente horizontal no varía, mientras que la componente vertical sí depende del tiempo y de la aceleración de la gravedad.

 Ecuación de la posición

 

Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con la relación al tiempo y de la definición de velocidad, la posición puede ser encontrada integrando la siguiente ecuación diferencial:

La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

Derivación de las ecuación de la posiciónDesplegar

La trayectoria del movimiento parabólico está formada por la combinación de dos movimientos, uno horizontal de velocidad constante, y otro verticaluniformemente acelerado; la conjugación de los dos da como resultado una parábola.

Cuando un objeto es lanzado con cierta inclinación respecto a la horizontal y bajo la acción solamente de la fuerza gravitatoria su trayectoria se mantiene en el plano vertical y es parabólica.